自动控制理论_2.2 传递函数

2.2 传递函数

2.2  传递函数 描述线性函数常系统特性的微分方程为

           (2.10)

方程的系数均为常数，设该系统的初始条件为零，即

对式（2.10）两边进行拉普拉斯变换，可以得到

令

             (2.11)

式（2.11）即为线性定常系统传递函数的定义表达式。
传递函数的定义为：线性定常系统的传递函数是零初始条件下输出的拉普拉斯变换与输出的拉普拉斯变换之比。
在控制系统的微分方程中，输入变量、输出变量都是时间t的函数。所以，微分方程是对系统特性时间域的描述方法。传递函数是以复变量为自变量的。复变量s为

   

式中和都是实数，成为角频率。所以，复变量又称为复频率。传递函数是复变函数，因而具有复变函数的各种性质。
控制系统的输出为

      (2.12)

从图2.5和式（2.12）可以看出，输入信号  是经过  ”传递”到输出端的，所以称  为传递函数。
传递函数实现了时间域的微分方程到复频率域的转换，把复杂的微分方程问题转化为较简单的关于的代数问题，因而，在经典控制理论中许多研究分析方法和重要结论都是以传递函数为基础的。这是一个十分重要的概念。
传递函数规范的表示方法一般有3种：
（1）标准定义形式

            (2.13)

在实际的物理系统中，由于能源有限、系统存在惯性等原因，总存在

                 (2.14)

所以，（2.13）式是一个关于  的真有理分式。
（2）典型环节形式

             (2.15)

（3）零极点形式
把（2.13）式的分母多项式和分子多项式进行因式分解后可得到：

          (2.16)

式中是分子多项式等于零所组成的方程的根,称为系统的零点多传递函数的零点。是分母多项式等于零时所组成的方程（称为系统的特征方程或传递函数的特征方程）的根，也称为系统的极点或传递函数的极点。传递函数的零极点对系统的性能有很大影响。K称为放大系数或根轨迹增益。
传递函数包含了与微分方程相同的信息，它也是控制系统的一种数学模型，是控制系统复频率域的一种数学描述。传递函数表示的是系统本身的动态特性，与输入信号及相应的输出信号的形式无关。
传递函数的概念只适用于线性定常系统。二个变量间具有线性关系且在零初始条件下，才能求取其传递函数，对于非零初始条件，传递函数并不能完全描述系统的特性。
求取控制系统或系统部件的传递函数的方法有两种。一种是解析法，即通过建立系统的微分方程，按定义求取传递函数。另一种方法是实验法，即通过被研究的对象对输入信号的输出响应，求取其传递函数。
下面是用解析法求传递函数的例子。
例5  图2.6是一个机械转动系统，求其在外力矩M的作用下，轴的角位移。
解 根据机械运动的力矩方程和牛顿定律

              (2.17)

在零初始条件下对式（2.17）两边求取拉普拉斯变换

根据传递函数的定义

写成典型环节形式

              (2.18)

式中T=J/f,K=1/f。

例6  求热电偶温度计的传递函数。
解  图2.7是用热电偶测量流体温度的示意图。设被测介质温度为，热电偶输出电势为E，热电偶温度为,R为被测介质与热电偶间的放热热阻,C为热电偶的热容量，为热电偶的比例系数。
热电偶的热电势为

被测介质流向热电偶的热流量

热电偶接点温度

可以得到微分方程

              (2.19)

按传递函数的定义

写成规范形式

                 (2.20)

式中，T=RC，称为热电偶的时间常数，为热电偶的放大系数。  

例7  求图2.8所示的RLC电路电流与输入电压u之间的传递函数。
解  根据电路元件的特性及电路定理得

上式可变为

整理后得到以电流i为输出量以u为输入量的微分方程

           (2.21)

对（2.21）式按定义求取传递函数

写成规范形式

                 (2.22)

式中：
     ,为电路的时间常数;
     K=C,为放大系数。
在求取线性电路得传递函数时，应用“复阻抗”法，有时会更简便一些。若线性电路的电压与电流都用拉普拉斯变换式表示，则它们之间的关系为

               (2.23)

式中Z(s）称为电路的复阻抗。对不同的电路元件，有不同的复阻抗。电阻的复阻抗为

电感的复阻抗为

式中L为电路的电感。电容的复阻抗为

式中C为电容量。在应用了复阻抗概念后，可以把电路按线性电阻电路的方法求解，直接得到点路的传递函数。

 

例8  对例7的RLC电路应用复阻抗法，求传递函数。
解                

例9  电路如图2.9 所示，求在作用下的传递函数。
电路的复阻抗为

电路电流为

电路的输出电压

电路的传递函数

  

式中，是电路的时间常数。
从以上两个例子可以看出，应用复阻抗法，避免可电感、电容电路中的微分积分运算，使解决问题的方法变得简便多了。