自动控制理论_3.7 控制系统的数值分析

3.7 控制系统的数值分析

    在控制系统的时域分析中，求取高阶系统的响应时间是一件十分困难的工作。而利用计算机，则可以方便地求出系统在一系列时刻上瞬态响应的数值解，并且可以满足精度上的要求。这就是控制系统的数值分析法。
    不论高阶微分方程或是状态空间表达式，都有微分方程的求解问题。对n阶微分方程求解，必须进行n次积分运算。所以，数值积分法就成为控制系统数值分析的最基本算法。
设一阶微分方程为

初始条件为

把方程改写为

           (3.125)

    如果我们把积分区间划分为若干子区间：,,,,对方程（3.125）两边从到积分

可以得到在时刻的值

               (3.126)

求出后，则可以根据再求出的值

    按同样的方法依次递推，就可以一步一步计算出整个积分区间内一系列时刻的方程的数值解。
    在上述计算中，积分区间时间段的划分一般是均匀划分，我们称相邻两个时刻的时间间隔为计算步长，用h表示，则有。
    实际上式（3.126）那样的递推公式是不能计算出结果，因为方程右边含有未知函数。从微分方程

    知道是在t时刻的切线斜率。要使式（3.126）能够计算，必须设法确定时刻段上的斜率。在计算步长取得足够小时，我们可以认为在到区间是一个常数。怎样寻求这个常数值f，有多种方法。最简单的一种方法是认为在到区间的斜率等于函数在时刻的斜率，即

则（3.126）式因而可以写成

           (3.127)

因为f在到区间内是常量，所以式（3.127）就变为

             (3.128)

推广到一般表达式

          (3.129)

式中

    这就是最简单的数值积分方法——欧拉法。
    欧拉法由于算法简单，误差较大，实际计算中很少使用。
工程上应用较普遍的一种数值积分法是四阶龙格-库塔（Rungekutta）法。四阶龙格-库塔法的计算公式为

         (3.130)

式中

    四阶龙格-库塔法在计算常量f时，不像欧拉法那样只取时刻的斜率代替整个到区间的斜率，而是以不同方法计算出4个斜率值 并进行加权平均。这样的道德平均斜率更接近于原来的曲线，因而精度较高。
    当系统的数学模型是微分方程或传递函数时，一般先要变换成状态空间表达式。因为上述数值积分法是一阶微分方程的积分法，而状态方程的各方成都是一阶微分方程，只需对每一个方程进行重复平行的计算就可以了。

    图3.25是状态方程求数值解的一个程序流程图。
    数值积分的实用程序在很多书中都有介绍，针对控制系统数值分析还专门开发了许多软件，用户可以很方便的根据状态方程或系统结果图进行编程分析。
在控制系统的数值分析中，计算步长的选择很重要。步长选得过大，计算精度较低。步长选得过小，计算量大。应用四阶龙格-库塔法，根据经验，可选

    式中是控制系统的调节时间。
    数值分析只能得到控制系统离散的数值响应，不可能得到解析解，这不利于研究系统的内在规律。
    控制系统的动态特性，稳态特性性能指标，可以按定义从数值解中求出。
    控制系统的数值分析方法又称为控制系统的数字仿真。在控制系统的分析与设计中，数字仿真技术应用十分普遍，已成为时域分析法中一种重要的方法。