第六节 数学的重大进步
20世纪数学发展的速度比以往更快。这时期数学发展总的趋向是，一方面数学更加理论化，它所研究的对象更加抽象；另一方面数学与自然科学和其他知识领域的关系更为密切，它更加深入到社会生活的各个方面，表明数学发展到了更高的水平，它更加成熟了。
6.1“数学危机”与数学基础研究
19世纪至20世纪之交，在世界数学史上也发生了影响着数学发展的一些重大事件。
一、“数学危机”
与物理学、化学的情形相类似，世纪之初数学也出现了“危机”。其实，以前数学史上已经有过两次“危机”。第一次“危机”发生在公元前的古希腊。我们知道毕达戈拉派把“数”视同圣物，他们只相信整数，但当他们研究直角三角形三边之长的关系时，发现有些直角三角形的两边之长如果用整数来表示，则第三边之长便出现“无理数”，无理数与整数无法通约，这就与他们的数的观念发生严重冲突。据说这是公元前400年左右该派一位学者发现的。也许是因为他亵渎了数的圣洁，或者是由于他泄露了不应示人的秘密，这位学者被他所属派别的同伴们处死了。等到人们承认无理数是数，那已经是16世纪的事。第二次“危机”与微积分学的发明相关。我们在上文提到过，微积分是建立在不大严格的推导的基础之上的，它在实用上的有效性和理论上的不严密性发生了严重矛盾，人们坚信数学在逻辑上应当是绝对严密的，这就难以弄清楚究竟是怎么一回事。经过半个多世纪不少数学家们的努力，重新研究了许多有关概念和建立了一些新的概念之后，危机才算是消除了。可是，这场危机刚刚渡过，紧跟着又出现第三次“危机”。
法国科学家和哲学家庞加莱(Jule-Henri Poincare，1854～1912)是最早觉察到经典物理学遇到“危机”，并且认识到这场危机意味着物理学变革的学者之一，然而他在数学领域里的表现却恰恰相反。他作为一位著名的数学家，1900年8月在法国巴黎召开的第二届国际数学家会议上踌躇满志地宣称数学的“完全的严格性已经达到了”。他指的是由微积分引起的疑难已经解决，数学基础理论的完备性已经完全恢复。但事隔不久，英国著名数学家和哲学家B．罗素(Bertrand Arthur William Russel，1872～1970)于1903年提出了一个集合论的悖论，这个悖论表明集合论的基本理论自相矛盾，问题既简单又明白，当时所有数学家(包括在集合论上有过重要贡献的庞加莱在内)都不曾想到过。这个悖论是：若R属于R的集合，则R是R的元素，那么R不属于自身，即R不属于R。反过来说，若R不属于R的集合，则R不是R的元素，那么R就属于它自身，也就是R属于R。不管是那一种说法，在逻辑上都无法相容。其实，在B．罗素之前不久，已经有另外两位数学家提出过其他两个集合论的悖论，只是没有引起人们的警觉罢了。这些悖论迫使数学家们不得不重新考虑对数学的认识，“数学是什么”这样的问题又尖锐地摆到了人们的面前。这就是20世纪初的“数学危机”。
二、现代数学基础研究
回答“数学是什么”的问题也就是数学基础的研究。数学家们就此展开了激烈的争论，形成了不同的派别，其中主要的有逻辑主义、形式主义和直觉主义三派。
逻辑主义派认为数学即逻辑。在他们看来，数学只是逻辑的空壳，并不包含任何物理上的意义，甚至也没有几何的实际内容。B．罗素就是这个派别的主要代表人物。这种看法显然比较片面。B．罗素在他的晚年也承认逻辑主义的主张不可行，现在持这种比较极端观点的人越来越少了。不过这个派别也有它的历史功绩，它推动人们认真地思考和研究数学与逻辑的关系，从而产生了数理逻辑这一学科分支，数理逻辑现在已经成为电子计算机科学技术的重要理论基础。甚至可以这样说，要是没有数理逻辑的研究也就不会有今日的电子计算机科学技术。
形式主义派的基本观点是：数学的基本概念本来就没有什么涵义，无所谓正确或者错误，真或者假，只要由公理所构造出来的系统是自洽的，不存在矛盾，它就是合理的。这个派别的早期主要人物是德国数学家希尔伯特(David Hilbert，1862～1943)。他的后继者们曾致力于使全部数学都公理化，即把它们都构造成类似欧几里得几何学那样的公理体系，但是他们的努力至今也没有能够实现。
直觉主义派则强调人的直觉，他们主张以直觉来判别数学理论的真伪，认为凡是能直觉地理解的便是合理的，反之就是不合理的。这个派别在“数学危机”出现之前就已存在，早期主要代表人物德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker，1823～1891)就有这样一句名言：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”他认为只有整数这样的自然数是真实的，坚持认为“无理数是不存在的”。这些极端的说法只能被认为是一种倒退，无助于揭示数学的本质。
这次“危机”引发的争论到现在也还没有结束。如同“物理学危机”、“化学危机”一样，“数学危机”只不过是人们对数学的认识上所产生的危机罢了。由于自然科学(如量子力学、相对论）和技术科学以及社会各方面的需要，也由于数学自身的动力，教学作为一门科学不但没有因“危机”而止步，因“危机”而引发的争论实际上也成了推动数学发展的力量之一，数学发展得更快了。
6.2 现代数学的几个主要分支
近百年来，原有的数学各个分支都有了长足的进步，新的分支更是大量涌现。这里只就当代数学几个最重要和最有影响的分支作一概述。
一、抽象代数学
代数学的研究原以解代数方程为主要内容。经过长期努力难题已基本上得到解决，从此转向“抽象代数学”(或称“近世代数学”)发展阶段。现在通常把前此的代数学称为“初等代数学”(亦称“古典代数学”)。抽象代数学在18～19世纪之交已经萌芽，真正形成学科体系则还是本世纪20年代的事。概括地说，抽象代数学所研究的是非特定的任意元素集合和定义在这些元素之间的、满足若干条件或公理的代数运算，或者说它所研究的主要是各种代数结构性质的问题。迄今为止，数学家们所研究的有“群”、“环”、“域”、“模”、“格”、以及“泛代数”、“同调代数”、“范畴”等这样一些结构。关于这些问题我们不打算在此讨论。尽管抽象代数学的研究越来越抽象，但它的一些成果及其方法也有了实际的落脚点，在电子计算机科学技术和其他一些工程技术中有广泛的应用，并且形成了代数编码学、语言代数学、代数语义学、代数自动机理论等等许多分支。
二、解析数论
数论是研究数的规律，尤其是整数的性质的分支学科，它在古代已经起步，本世纪初数论的研究进入了解析数论的阶段。解析数论是以分析的方法来研究数论的问题，大致有三类：(1)用分析证明整数的一些定性的性质，其中最著名的是德国数学家哥德巴赫(Christian Goldbach，1690～1764)于1742年所提出的猜想：“每个大于或等于4的整数能表示成两个素数之和。”这个猜想引起了数学家们很大的兴趣，许多人都想给予证明，但到现在还没有完全解决。我国数学家陈景润(1933～1996)在这方面的出色的工作为世界数学界所注目。(2)用分析建立定量的结果，例如素数系列里小于或等于x的素数的个数等等问题。(3)用算术性质分析和阐明解析的问题。这些问题都属于“纯粹数学”，亦即属于数学的基础理论，它对推动数学的发展有积极意义，但在数学领域之外还没有具体的用途。
三、拓扑学
拓扑学原是几何学的一支，它所研究的是不同图形的拓扑性质的刻划以及拓扑的分类等问题。所谓图形的拓扑性质，指的是几何图形在连续变形(如弯曲、拉大、缩小，但不能割断或粘合)时仍然保留不变的那些性质。例如描绘在橡皮膜上的图形，当橡皮膜伸缩变化但不破裂或折叠时，图形就具有一些不变的性质，这就是拓扑性质。拓扑学在本世纪初形成为数学的一个分支，30年代以后发展至为迅速，并且还相继产生许多次级学科如代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学等等。拓扑学的理论和方法的发展对数学的其他分支有不小的影响，同时在理论物理学、化学、生物学和语言学等领域都有许多应用，它已成为现代数学相当活跃的分支。
四、微分几何学
微分几何学是以分析方法研究空间的几何性质的学科，19世纪已有一定程度的发展，20世纪以后更有长足的进步。德国数学家黎曼于1854年创立的以分析方法处理非欧几何空间的“黎曼几何学”成为爱因斯坦广义相对论的数学工具之后，微分几何学更引起了数学家们的关注。现在微分几何学也已成为包括许多次级学科的相当活跃的数学领域。
五、泛函分析
泛函分析是本世纪30年代以后才形成的。以往人们所研究的函数都是一维(线)、二维(平面)和三维(立体)函数，也就是说包含一个、两个或三个变数的函数，泛函分析所研究的则是包含三个以上变数的函数。泛函分析是从微分方程、积分方程、函数论以及量子物理学的研究中逐渐发展起来的。希尔伯特是泛函分析的主要创建者之一。现在泛函分析亦已形成了许多分支，不仅在数学中有广泛的应用，而且成为连续介质力学、量子物理学、控制论、最优化理论和许多工程技术科学的重要数学工具。
六、突变理论
自然现象和技术过程中存在着大量突变现象，例如火山爆发、细胞分裂、桥梁断裂、微观粒子的能级跃迁等等都是不连续的变化，或者说是从一个状态到另一个状态的跳跃式变化的现象，这就是突变现象。以往的数学工具只能描述连续性的变化，或称平滑式的变化，对于非连续性的、跳跃式的变化便无能为力。1972年法国数学家托姆(Rene Thom，1923～ )发表了一部著作，系统地阐述了突变现象的数学模型，标志着突变理论的诞生。突变理论的任务在于寻找描述突变过程的数学模型，现在已经取得了一些成果。数学家们得出这样的结论，突变过程共有七种类型，称为折叠型、尖顶型、燕尾型等等。目前这些理论已在物理学、系统论和技术领域里有了初步的应用。
七、数理逻辑
数理逻辑亦称符号逻辑，是运用数学的方法来研究逻辑，亦即研究正确思维所遵循的规律的一门学科，数理逻辑亦以数学中的逻辑问题、数学理论的形式结构和数学所使用的方法作为自己的研究对象。数理逻辑的思想起源于莱布尼兹，他曾设想把逻辑推理转化为代数运算。首先成功地建立逻辑演算的人是英国数学家布尔(George Boole，1815～1864)，他于1847～1854年间创立了运用于逻辑运算的“布尔代数”。数理逻辑发展成为数学的一个重要分支是本世纪的事，这与数学中的逻辑主义学派的思想直接相关。现在它的内容已经概括从以传统的演绎逻辑为对象的最狭义数理逻辑到最广义的归纳逻辑，对于逻辑学、数学和计算机科学技术的发展都发挥了重要的作用。
八、模糊数学
以往的数学都以追求精确为目标，但在实践中常常会遇到一些不可能从量上精确描述的事物，许多比较复杂的事物都是如此，在人文和社会现象里这类现象更比比皆是。例如我们说某事情办得比较好或者比较差，某国的科学技术水平比较高或者比较低等等，这类问题都不可能用一种什么尺度去作精确测量，原先以精确描述事物为特征的数学及其方法在处理这类问题上无能为力。1965年美国控制论学者扎德(Lofti Asker Zadeh，1921～ )提出了处理这类问题的“模糊集合”的概念，开创了模糊数学的研究，标志着模糊数学的诞生。过去所说的集合是指具有某一相同属性的事物的全体，它们的属性是界限分明的，模糊集合所概括的事物的属性则是模糊的，它所表征的是这些事物的“隶属程度”，而不是这些事物的非此即彼。以此为基础，数学家们建立了模糊集合的运算、变换等理论以及刻划模糊集合的隶属函数，为描述模糊现象找到了一套理论和方法。模糊代数、模糊拓扑、模糊概率、模糊统计、模糊逻辑、模糊推理等随之而诞生。模糊数学现在已经成为许多数学家所关注的领域，它在自动化技术、电子计算机科学技术、系统工程、人工智能以至于图像识别、天气预报、计算机诊病、社会经济研究等许多方面已得到了广泛的应用。
模糊数学使得数学不仅能处理界限分明的事件，而且也能处理界限模糊的事件，它表明人类对客观事物的认识和处理能力的进一步的强化，这无疑是数学发展史上的又一次重大突破。其实，人类感官从外界所得到的大多是模糊的信息，经过大脑加工后形成模糊的概念和判断，进而作模糊推理，最后是模糊的识别和决策，这是人类的思想和行为的基本特征。模糊数学的出现表明人类对自身的认识和思维过程的研究已趋科学化，它的意义远不止在于数学。
九、数理统计学
数理统计学是以概率论为基础的数学分支，其任务在于研究有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，从而作出推断或预测，为人们的决策和行动提供建议。数理统计学发端于19世纪末，到本世纪上半叶趋于成熟，英国学者费希尔(Ronald Aylmer Fisher，1890～1962)是现代数理统计学的主要奠基人之一。客观现象常有这样一种情况，某一事物包含着众多个体，我们不可能逐个地考察它的所有个体，只能从中抽取若干个个体加以研究，在抽取个体和对其研究时又不可避免地要受到各种偶然性因素的制约，这时就只能运用数理统计的方法。
数理统计方法包含着许多环节，其中主要的有建立数学模型、收集整理数据和统计推断、预测等。
建立数学模型是指对所研究问题的总体状况作出某种数学上的假定，这是作出推断和预测的主要依据。例如我们要研究某产品中某种成分的合格率，我们可以假定该成分在a与b当中的某个数值(如
)者为最多，大于和小于这个数值的依次减少，形成某种函数分布，如“正态分布”。不过，实际情况十分复杂，我们所假定的数学模型往往需要根据实测数据加以修正，许多时候只能从数据出发来认定它的分布函数。
搜集数据的方法一般有两种，一是抽样检测，二是通过特定的试验来取得数据。抽样检测适用于所研究的总体是一些有形个体所构成的情况，比如我们需要研究某地区居民的经济收入状况，我们就可以抽取该地区若干居民的经济状况来加以研究。至于抽取多大比例才恰当，采取怎样的抽取方法才能使所抽出的居民在该地区内有最大的代表性等，就需要运用数理统计中的一个分支——抽样技术。有些总体中的个体并不是现实存在的，而是必须通过试验才能表现出来，并且试验条件只在一定限度内能为人所控制的，这时就得用试验的方法来获取数据。例如，某种产品的质量与材料、设备、工艺、环境等多种因素有关，这时就得选取若干组不同条件来试验生产，通过试验来寻求最有利的生产状态。至于选取什么样的条件使其最具代表性，试验次数应如何安排，如何使试验所得数据便于统计分析等，又需要运用数理统计学的另一个分支——试验设计。
通过检测或试验所得的数据称为“样本”，从样本对所研究的总体作出结论就是“统计推断”。以上述居民经济状况调查为例。比如我们从样本计算得出：可用90％的概率断言该区居民年均收入在10000～12000元之间，这就是统计推断。
预测与推断不同，推断的对象虽然未知但是确定的，预测的对象则是未来某个时刻或在某种设想的条件下将要出现的，既是未知的，也是不确定的。例如根据某种产品若干年来的销售记录以及其他因素，预测这种产品三～五年后的市场容量就是如此。在许多实际问题中，推断往往只是研究过程的中间环节，预测才是我们研究的最终目的。
从上述可知，数理统计学是一门实用性很强的，应用范围十分广泛的数学分支，它的形成和发展大大地扩展了人类认识客观事物的能力。
十、运筹学
运筹学的兴起与战争有关。第二次世界大战期间，武器和各种军事装备日益精良，但运用上却出现了滞后的状况，最突出的是雷达系统的运用和反潜艇作战方面。为此，英美等国都组织了包括数学家、物理学家、生理学家和军事专家就此进行研究，他们的任务是通过数学的分析和运算，作出综合的安排，以达到最合理、最有效地利用武器装备和发挥人员的作用，以解决诸如雷达的布置、高炮火力的控制、护航舰队的部署、深水炸弹的布放、敌方潜艇的侦察等问题。他们的工作卓有成效。战后人们把这些经验和方法移植到经济和其他领域，这就产生了运筹学。迄今为止运筹学还没有一个公认的定义，我国学者称之为运筹学，是取“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的意思。运筹学或者也可以称之为运用和筹划的科学。运筹学的理论和实践近年来都有很大的发展，并且形成了规划论、图论、库存论、搜索论、排队论、决策论和对策论等一系列分支，下面我们选取其中部分略作介绍。
(1)规划论 规划论亦称数学规划，是运筹学中发展最迅速的分支，它所研究的是如何用最少的人力、物力去完成确定任务的问题。规划论又有线性规划、非线性规划、参数规划、随机规划、动态规划等许多分支。例如物资的调运、装卸工人的调配、车辆的通过能力、生产中的下料等问题都可以用规划论的方法来加以研究。这类问题在数学上可以归纳为：在满足既定要求下，按照某一衡量指标寻求运行的最佳方案。试以一运输问题为例，假定货物和运输单价均为定值，现在需要把某种货物从仓库运往若干个距离不等的商店以供销售，在保证供销平衡的条件下，要求规划出货物的最合理的流量和流向并使总运费为最少，这就需要运用规划论的方法。在这里，事先要求满足的条件称为约束条件，衡量指标称为目标函数，规划论就是研究某一目标函数在一定的约束条件之下的最大(或最小)值的问题。
(2)库存论 库存论亦称存贮论，它所研究的是各类存贮活动的最优方案。社会生活中有许多存贮活动，如工厂要存贮原材料，商店要存贮商品，血库要存贮血浆等等，这些物资的存贮要占用空间，长期积压又会影响资金的流通和造成物资的损失，但是存贮量过少也会造成工厂停工待料，商店销售不畅而影响经济效益，血库缺血而危及病人生命等等问题。库存论的任务在于运用数学方法寻找出库存的最优方案，其目标是既满足需要又得到最好的经济效益。库存论所需要处理的有下列各种因素：需求、货物补充时间、每次进货的固定费用(如手续费等)、货价、存贮费、短缺将造成的损失等，这些因素或许是确定的或许是随机性的，以这些数据为基础，建立适当的数学模型，经过综合分析就有可能得出存贮的最优方案。
(3)排队论 社会生活中有许多比较复杂的排队问题，如轮船等候靠泊码头，火车等候卸货，飞机等侯跑道降落等等。排队现象既包含着随机性，又存在着排队者的利益冲突。比如说，轮船到达港口的时间和码头是否有泊位就有随机性，而哪一艘轮船先靠码头卸货对于轮船和码头更为有利就存在着利益上的矛盾。研究和处理这类问题的数学工具就是排队论。排队论亦称随机服务系统理论。任何一个服务系统都包含三个基本组成部分，即服务对象到来的规律、为服务对象服务的次序和服务的措施。排队论的任务是运用数学方法寻找这三个基本组成部分的模型，从而得出一个从总体效果上来说最为合理的方案，即服务对象排队的时间最短，服务机构的持续繁忙时间不太长以及科学的管理方法。排队论对于各种公用服务系统无疑都有重要的经济价值和社会价值。
(4)决策论 在处理一些事情时常常会遇到这样的情况，就是同一事情出现多种不同处理方案的选择，为求得最理想的结果，就需要合理决策。决策论又称决策分析，这是一种随机运筹方法，其任务在于运用数学和统计的方法帮助人们在有些因素还不确定的情形下作出决策。需要作出决策的事情总具备这样一些因素：只有一个明确的决策目标，至少存在一个客观条件(或称自然状态)，至少有两个可供选择的方案，不同方案在各种自然状态下的损益值能够计算出来。例如一个运输车队准备装货发车，其时天未下雨，但当天的天气预报是下雨的概率为40％，这些货车究竟是否应当带雨布出车?如果带了雨布而遇雨，货物就不会受损失；如果带了雨布而不下雨，因装载雨布而减少了货车的容量，将要受到若干经济损失；如果不带雨布遇雨使货物受损，又将会有若干经济损失；要是不带雨布而又没有下雨，经济效益自然最好。在这个事例里，决策目标是最好的经济效益，自然状态有下雨和不下雨两种，可供选择的方案有四个，各个方案的经济损益都是可以计算出来的。决策可分为确定型、风险型、不确定型几种。决策分析的内容和步骤大体上是确定目标、拟定方案、造损益值表、建立数学模型、综合分析和选择最优方案。决策论的意义和效用不言而喻。
(5)对策论 决策论所研究的只是决策者一方选择最优方案的问题，实际生活中却经常存在着竞争，竞争双方(或多方)往往各有长短，彼此存在着利害冲突，都力求在竞争中取胜。在这种情况中如何决策才能比较有把握获胜就是对策论所研究的问题。或者说，对策论是从策略的观点出发，研究在具有竞争性的活动中如何取胜的学科。我国历史上有一个著名的以弱胜强的事例。《史记》载，战国时齐威王邀大将田忌赛马，限定从自己饲养的马匹中选出上、中、下三等马各一匹参赛。田忌自知他的马比齐王的马都略逊一筹，若以同等马相比必败无疑。他采纳了孙膑(战国时人，生卒年代不详)的计策，以他的下等马对齐王的上等马，有意输掉一场，又以他的中等马对齐王的下等马和以他的上等马对齐王的中等马而赢了两场，最后以2：1获胜。齐威王十分欣赏孙膑的对策才能，因此任命他为军师。孙膑在赛马中所运用的就是对策论的方法。这个故事所描述的是一个比较简单的事例，现实情况往往复杂得多。对策问题必定存在着三个要素，即竞争的各方(称为“局中人”)、竞争各方的策略(称为“策略集合”)和竞争各方的得失(称为“支付函数”)。对策的类型也可以分为多种。对策论的方法大体上是以策略集合为基础，建立适当的数学模型，经过综合分析，然后找出最优方案。不过竞争经常表现为一个过程，在这个过程中各种因素都会发生随机性的变化，局中人还得不断地调整自己的策略才有取胜的可能。
由上述可知，运筹学是一门实用性很强的学科，它实际上已经成为现代管理科学的重要理论基础和数学方法，尤其是电子计算机广泛应用以来，数学模型的建立和运算变得快捷和容易，更加增强了运筹学的实用价值。不过，运筹学建立的时间不长，不少问题仍在探索之中。
十一、优选学
科学试验、工程设计、工艺措施以及规划、管理、决策等都存在着选择最优方案的问题，优选学所研究的是运用数学手段迅速和合理地确定最优方案的理论、模型和方法。我国著名数学家华罗庚(1901～1985)在发展和推广优选学方面有重要贡献。他选定了几种理论上可靠而又易于推行的优选法在国内广为传播，取得了良好的效果。优选法的种类很多，可以分为单因素优选法和多因素优选法两大类，单因素优选法又有0．618法(亦称黄金分割法)、对分法等，多因素优选法也有爬山法、调优法等多种。
