第二节、正投影法基本原理
1、投影的形成与常用的投影方法
在工程图样中，为了在平面上表达空间物体的结构形状，广泛采用了投影的方法。
所谓投影，在日常生活中是经常遇到的。如图1-1所示，把一块三角板ABC放在一盏灯与一个平面之间（为了叙述简便，假设三角板平行于这个平面，并假定三角板厚度忽略不计）。那么，在平面上就会出现一个三角形的影子abc，三角形abc就是三角板ABC在这个平面（称为投影平面）上的投影。
图1-1 中心投影法 图1-2 平行投影法
对物体进行投影时，必须首先确定光源、投影平面和物体相对于投影平面的位置，还要确定光线与投影平面的关系（垂直或倾斜）。如果把光源抽象成一点则称为投影中心。投影所在的平面称为投影面。投影光线称为投影线。光线投影方向称为投影方向。过点A的光线与投影面P的交点a称为A在投影面P上的投影。
工程上常用的投影方法，有中心投影法和平行投影法。在图1-1中，投影中心在有限距离内，即全部投影线在投影中心相交。这种投影方法称为中心投影法。
如果把投影中心移至无限远处，则如图1-2那样，诸投影线相互平行，这种投影方法称为平行投影法。
根据投影线与投影面所成之夹角不同，平行投影法又分为直角投影法和斜角投影法。投影线与投影面垂直的（图1-3（a））称为直角投影法，投影线与投影面倾斜的（图1-3（b））称为斜角投影法。直角投影法又称为正投影法。
比较图1-1和图1-1可以看出，在中心投影法中，由于投影线不平行，所以投影中心、物体及其投影面三者之间的相对距离对投影尺寸有影响，而在平行投影法中物体的投影尺寸与物体和投影面间的距离无关，所以平行投影有较好的度量性。
(a)直角投影法 （b）斜角投影法
图1-3 平行投影法的种类
2、点的投影
点的投影及其规律
用正投影法将空间点A投射到铅直的投影面V上，在V面上将有唯一的点a′，即为空间点A的投影（图2-1）。S表示投影方向，由于用的是正投影法，所以S⊥V。同样，每一个不同的空间点（不处在直线Aa′上）在V面上产生一个对应的投影。
图2-1 空间点的投影 图2-2 一个投影不能确定空间点的位置
反之，如果已知一点在V面上的投影为a′，是否能确定空间点的位置呢？由图2-2可见，A1，A2，A3，A4…各点都可能是对应的空间点。所以，点的一个投影不能唯一确定空间点的位置。
为此，需要再增加一个投影面，从另外的投影方向，再得到同一空间点的另一个投影，用这两个投影，才能确定空间点的位置。
为了方便，使新增加的投影面与原投影面互相垂直，并把两投影面之交线ox称为投影轴。由于采用的是正投影法，所以两个投影方向S1和S2也互相垂直（图2-3（a））。
(a) (b) (c)
图2-3 点的两面投影
我们把铅直位置的投影面称为正面投影面或V面；水平位置的投影面称为水平投影面或H面。空间点A在V面的投影叫做点A的正面投影a′；在H面的投影叫做点A的水平投影a（我们规定空间的点都用大写字母表示，它的投影都用相应的小定字母表示）。
为了把V面和H面及其投影同时绘制在一张纸（平面）上，规定画图时V面保持不动，将H面以ox为轴向下转90o，使与V面重合。展开后的点的两面投影如图2-3（b）所示。由于投影面的周界大小与投影无关，所以作为投影面的边框和字母H，V均可省去而形成如图2-3（C）所示的点的两面投影图。
所得到的点的两面投影图有以下两个重要特性：
（1）点的正面投影和水平投影的连线a′a和投影轴ox垂直，即a′a⊥ox。
从图2-3（a）可知，因Aa′⊥H，Aa′⊥V，所以由Aa和Aa′决定的平面同时垂直于V面和H面，也必垂直于V，H的交线ox。Ax就是ox与平面Aaaxa′的交点。a′ax和aax都是过ax而位于平面Aaaxa′上的直线，所以a′ax⊥ox,aax⊥ox。当投影面展开时，aax在平面Aaaxa′内旋转，所以展开后a′ax和aax必垂直于ox，也即a′a⊥ox。
（2）点的正面投影到ox轴的距离，等于空间点到水平投影的距离。点的水平投影到ox轴的距离，等于空间点到正面投影的距离，它们分别反映了空间点到两投影面的距离。
在图2-3中，即a′ax=Aa=空间点A到H面距离，aax=Aa′=空间点A到V面距离。
3、直线的投影
直线的投影特性
直线由两点所决定，因此直线的投影即由该线上两点的投影所决定。所以直线的投影问题仍可归结为点的投影问题。如已知直线上两点的投影，那么将两点的同名投影用直线连接，就得到该直线的同名投影。
（1）直线对一个投影面的投影特性
直线对单一投影面的相对位置不外平行于投影是投影面、垂直于投影面和对投影面倾斜成某一角度这样三种情况。
(a) (b) (c)
图3-1 直线对一个投影面的三种位置
由图3-1可知：
A、当直线垂直于投影面时，在该投影面上的投影重合成一点，线段上所有点的投影都重叠在这一点上，投影的这种性质称为积聚性，如图3-1（a）中的线段AB和AB上的任一点M在投影面上的投影重合成一点，即a=b=m。
B、当直线于行于投影面时，该投影面上的投影反映空间线段的实长，如图3-1（b）中的线段ab=AB。
C、当直线倾斜于投影面时，该投影面上的投影是较空间线段缩短了的线段。如图3-1（c）中ab=Abcosa（a为直线AB与投影面形成倾斜角）。
1、体的投影
体的投影，实质上构成该体的所有面的投影总和。运用点、线、面投影规律，就可以分析体的投影（如下图1-1）。
平面ABCD和平面EFGH都是水平面，平面AEFB和DHGC都是正垂面，这四个正面投影都积聚成直线。前后两个平面BFGC和AEHD分别为侧垂面和正平面，其正面投影重合线框b’f’g’c’(a’e’h’d’)。在水平投影中abcd和efgh反映实形，abfe,dcgh和bfgc具有类似性，aehd则积聚为一直线。
图1-1：体的三面投影 图1-2：体的三视图
2、投影与三视图
视图：就是将产品向投影面投影所得的图形。
投影面上的投影与视图，在本质上是相同的。工件在三个基本投影面上所得的三视图分别称为：
主视图：由前向后投影，在V面上所得的视图。如图1-1所示
俯视图：由上向下投影，在H面上所得的视图。如图1-1所示
左视图：由左向右投影，在W面上所得的视图。如图1-1所示
三投影面展开后，平面体的三视图如图B所示。
根据投影分析，三视图之间有两个重要的对应关系，即：
（1）之间的度量对应关系
从图2-2可以看出，主视图能反映物体的长度和高度，俯视图能反映物体的长度和宽度，左视
图能反映物体的高度和宽度，所以：
主视图和俯视图长度相等；
主视图和左视图高度相等；
俯视图和左视图宽度相等；
这就是所三视图在度量对应上的“三等”关系。
（2）图之间的方位对应关系
物体有上、下、左、右、前、后六个方位，如图2-3，三视图之间也反映了物体的六个
方位对应关系：
主视图反映了物体的上、下和左、右方位；
俯视图反映了物体的左、右和前、后方位；
左视图反映了物体的上、下和前、后方位。
图2-3：三视图的方位对应关系
3、视图
视图主要用来表达产品的外部结构形状。视图分为基本视图、斜视图、局部视图和旋转
图3-1:六个基本投影面及其展开图
（1）基本视图
当产品的形状比较复杂时它的六个面形状可能都不相同。为了清晰地表达产品的六个面的形状，需要在已有的三个投影面基础上，再增加三个投影面组成一个正方形空盒；构成正方形的六个
投影面称为基本投影面。当产品正放在正方形空盒中，将机件分别地向这六个投影面进行投影，得到六个基本视图。除上面的三个视图外，其他三个视图是：从右向左投影，得到右视图；从下向上 投影，得到仰视图；从后向前投影，得到后视图。
六个投影面的展开方法，如图3-1。正投影面保持不动，其它各个投影面如箭头所指方向，逐步展开到与正投影面在同一个平面上。
展开后的视图位置如图3-2所示。当六个基本视图的位置，如图3-2布置时，一律不标注视图名称。
六视图的投影对应关系：
六视图的度量对应关系，仍保持“三等”关系，即主、左、后、右视图等高；左、右、俯、仰视图等宽；主、后、俯、仰视图等长。
六视图的方位对应关系，除后视图外，其他视图在“远离主视图”的一侧，均表示物体的前面部分。
图3-2 六个基本视图
（2）斜视图
当机件的表面与基本投影面成倾斜位置时（如图3-3中弯板倾斜部分），在基本视图上就不能反映表面的真实形状。这时，可设立一个与倾斜表面平行的辅助投影面P，且垂直于V面，并正对着此投影面进行投影，则在该辅助投影面上得到反映倾斜部分真实形状的图形。这种机件向不平行于任何基本投影面的平面投影所得的视图称为斜视图。
图3-3中的A向斜视图，表示了弯板倾斜部分的真实形状。
图3-3 斜视图
（3）局部视图
如果机件主要形状已在基本视图上表达清楚，而在某个方向尚有部分形状未表达出来，此时没有必要画出整个视图，只需在基本投影面上画出没有表达清楚的局部图形，这种将机件的某一部分向基本投影所得的图形称为局部视图。
如图3-5所示的工件，其中A向视图是局部视图。
图3-5 局部视图
（4） 旋转视图
如图3-6所示，摇杆的右臂倾斜于水平投影，为了作图方便和明确起见，可以假想把摇杆的右臂绕蹭孔的轴线旋转到水平位置后，再向水平面投影画出视图。所以，当机件的倾斜部分具有旋转轴线时，可以假想将倾斜部分旋转到与某一选定的基本投影面平行，然后再向该投影面投影，所得到的图形称为旋转视图。
从上向下投影，在水平面H上所得到的视图，称为顶视图。
为使三视图展开在同一平面上，规定V面不动，H面绕它与V面相交的轴线向上翻转90o，W面绕它与V面相关的轴线向右线90o，均与V面重合。
三视图的位置是：顶视图在前视图上方，右视图在前视图的右方。三个视图之间保持投影的对面应关系。
图3-6 旋转视图
（5）第三角度法
三个互相垂直的投影面V，H，W，将W面左侧空间划分为四个区域,按顺序分别称为第一角、第二角、第三角、第四角，如图3-3所示。
例如将产品放在第一角中，使机件处在观察者和投影面之间进行投影，这样得到的视图，称为第一角度法。
另一种方法是将产品放在第三角中，假设投影面是透明的，使投影面处在观察者和机件之间进行投影，这样得到期的视图，称为第三角度法，如图3-4所示。
图3-3：四个角 图3-4：三视图的形成
第三角度法中的三视图
三视图的形成
按第三角度法，将物体放在三个相互垂直的透时投影面中，就象隔着玻璃看东西一样，在三个投影面上将得到三个视图（图3-4）：
从前向后投影，在正平面V上所得到的视图，称为前视图。
从上向下投影，在水平面H上所得到的视图，称为顶视图。
从右向左投影，在侧平面W上所得到的视图，称为右视图。
（6）剖视图
当产品内形比较复杂时，在视图上就会出现许多虚线，这样给看图和标注尺寸都带来了不便，因此，为了清楚地表达产品的内部结构形状，用将产品剖视的方法来表达。
用一剖切平面，通过产品的对称中心线，把产品剖开，将处在观察者和剖切平面之间的部分移去，而将其余部分向投影面投影，这样得到的图形叫做剖视图，简称剖视。
产品的剖视图分为：全剖视图、半剖视图、局部剖视图。
A、用剖切面把产品完全剖开后所得到的剖视图称为全剖视图。
B、当产品具有对称面时，在垂直于对称平面的投影面上的投影，以对称中心线为界，一半为剖，一半为视图，这种剖视图称为半剖视图。
C、用剖切平面局部地剖开产品所得的剖视图，称为局部剖视图。
（7）剖面图
用剖切平面将产品的某处切断，仅表达出断面的图形，此图形称为剖面图，简称剖面。
4、工程图纸上的常用符号
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符号
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定义
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符号
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定义
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E
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直径
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基准
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R
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半径
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第三角度法
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C
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倒角
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B S
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披锋面
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X Y Z
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座标
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( )
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参考寸法
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S E
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球面
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m a x
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最大
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° ` ``
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角度单位 (度/分/秒)
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m i n
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最小
|
|
t
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板厚
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起点记号
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直线度
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倾斜度
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平面度
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位置度
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真圆度
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同轴度
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平行度
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对称度
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垂直度
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全跳动
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圆跳动
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面的轮廓度
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