第二节 正轴测投影图
一．正等测图的形成
现以正立方体为例来说明正等测图的形成过程，如图9-3所示：
1．把正立方体放置在水平面上，并使正立方体的前面平行于正面（轴测投影面）。当投影光线垂直正面投射时，正立方体的投影是个正方形（图9一3a）。它只能反映正立方体一个面的形状，因而没有立体感。
2．如果将正立方体从图9一3a所示的位置，按箭头所指的方向绕一铅垂轴旋转45°后，再进行投影，所得正立方体的投影是两个相连的长方形（图9一3b）。因为它只反映了正立方体两个面的形状，所以立体感也不强。
3．如果再把正立方体从图9一3b所示的位置绕一侧垂轴向前旋转，使它的对角线OA垂直于正面（图9一3c），则正立方体的前面、侧面和顶面都与轴测投影面倾斜相同的角度。此时，正立方体在轴测投影面上的投影就呈现三个相连的菱形。因为在一个投影面中同时反映出正立方体互相垂直的三个面的形状，所以投影就具有较好的立体感，这就是正立方体的正等测图。
图9-3 正等测图的形成
图9-4 正等测的轴测轴和轴间角
为了更清楚地说明正等测图的形成和特点，我们把正立方体上的0点作为直角坐标系的原点（图9一4），并假设过0点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴。这三个坐标轴必与正立方体的对角线OA构成相等的角度。当OA垂直于轴测投影面时，则X、Y、Z与轴测投影面倾斜的角度都相等。因此，只要物体上三个互相垂直的坐标轴与轴测投影面倾斜相同的角度，就可得到正等测图。
二、正等测图的投影特性
正等测图实际上也是正投影图。因此，它具有正投影的一般性质，如直线的投影一般仍为直线，平行直线的投影仍互相平行等。但是，要正确地绘制正等测图，还须了解它的另外三个特性：
1．物体上的三个坐标轴的轴测投影叫做轴测轴，在正等测投影中，由于三个坐标轴OX、OY和OZ与轴测投影面倾斜相同的角度（约为35o），所以它们的轴测投影O1X1、O1Y1、O1Z1就一定按相同的比例缩短，缩短后的长度与原长的比值（即O1X1/OX、O1Y1/OY、O1Z1/OZ），叫轴向缩短系数，约为0.82。物体上凡与坐标轴平行的直线，其轴测投影也必与相应的轴测轴平行，长度均应缩短为原长的0.82倍。
2． 在轴测图上轴测轴之间的夹角（∠X1O1Z1、∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1）叫做轴间角（图9-4）。在正等测图中三个轴间角相等，都是120o，画图时须先画出。
3．物体上凡不平行于轴测投影面的平面，其轴测图都变形，例如，正多边形变成了斜多边行，圆变成了椭圆。
三、正等测图的基本画法
根据上述正等测投影的特性，可以画出长方块的正等测图，如图9-5所示。
为作图简便，常把正等测图的轴向缩短系数简化为1，也就是零件上凡是平行于坐标轴的直线，在轴测图上都按实际尺寸画出，不在缩短。图9-6所示的轴测图就是按简化的缩短系数画出的。它比用缩短系数0.82画出的轴测图放大了1.22倍。
图9-5 长方体正等测图的画图步骤
（a）定坐标轴 （b）作轴测轴 （c）取长方体长度、宽度的0.82倍画出长方体的底面 （d）从底面四个顶点画平行z1轴的四条棱线，取其高度的0.82倍 （e）连起长方体的顶面 （f）描深看得见的轮廓线
图9-6 按简化系数画图
图9-7 正六棱柱的正等测图的画法
通过上述两个形体的正等测图的画图过程看出，画轴测图时，先在物体视图上选定适当的坐标原点及坐标轴，并在图纸上画出相应的轴测轴，然后把物体上的某些点，根据视图中给出的坐标，确定它们在轴测坐标系中的位置，进而画出物体上某些线和面，并逐步完成全图。这种画法叫做坐标定点法，是绘制轴测图的一种基本方法。下面所举的几个例题都是按照这种方法画出来的。
四．圆的正等测图
多数物体上都有圆和圆弧形结构，而这些圆多数又平行于某两个坐标轴所决定的坐标面。这里主要介绍平行于各坐标面的圆在轴测图上的画法。
假设在正立方体的三个面上，各有一个直径为d的内切圆如图9-8所示。这三个圆都与轴测投影面倾斜相同的角度，因此各圆的正等测投影均为形状相同的椭圆，并且也都内切于三个相同的菱形。根据它们的几何关系，可以推断出各椭圆在轴测投影中的三个特点：
图9-8 圆的正等测投影
图9-9 椭圆的长、短轴的方向
1．椭圆长、短轴的方向（图9-9）
平行于X1-Y1面的椭圆，其长轴垂直于Z1轴；平行于X1-Z1面的椭圆，其长轴垂直于Y1轴；平行于Z1-Y1面的椭圆，其长轴垂直于X1轴。椭圆的长轴与短轴垂直。
2．椭圆长、短轴的大小
椭圆长轴是圆上平行于轴测投影面的那条直径的投影（见图9-8中11 2 2），长度就等于圆的直径d。经几何计算，椭圆短轴的长度等于0 .58d。
3．一对共轭直径
在正立方体各个面上的圆中分别平行于两个坐标轴的一对直径称为共轭直径，在轴测投影图中仍平行于轴测投影轴，其长度为0.82d(如图9-8中的a1b1、c1d1)。在轴测图上，常以这两条直径作为画椭圆的定位线。画椭圆时，先把它们画出。采用简化缩短系数画椭圆时，上述数据均扩大到1.22倍（图9-10）。
图9-10 图增大1.22倍
知道了椭圆长、短轴的方向和大小，就可以按图9-10的方法画出椭圆。但这种画法比较麻烦，一般常用“四心法”近似地画椭圆。具体作图方法见图9-11。其中图9-11a 过O点作轴测轴AB、CD、EF，作水平线与AB垂直，就是椭圆长轴方向，以O为圆心，以d为直径画一个圆。图9-11b分别以A、B为圆心，AD或BC为半径画两个大弧，与AB相交于H和G。图9-11c以O为圆心，OG为半径，作弧与椭圆长轴交于I和II。图9-11d连图IB，并延长交大圆弧于K（两圆弧切点）。以I、II两点为圆心，IK为半径，作弧把两个大圆弧连接起来。
图9-11 正等测图中椭圆的近似画法
图9-12 凸轮的正等测图的画法
9-12示出了用“四心法”绘制凸轮的正等测图。其中图9-12a定出坐标轴。图9-12b过各圆心画出轴测轴。图9-12c由前向后画出各图。图9-12d描深可见轮廓线。
五．圆柱、圆锥、圆球及圆环的正等测图
物体上经常遇到柱、锥、球、环等基本体，它们的轴测投影图的画法及要点如表9-1所示。图中各例都按简化缩短系数画出。
表9-1 基本几何体正等测图的画法
六．物体上平板圆角的画法
物体底板、凸台、凸缘部分的转角处，常做成圆角，如图9-13a所示。在轴测图上，圆角可按图9-13b所示的方法绘制，R弧在轴测图上均为椭圆的一段，左边圆角可用大圆弧r1画；右边圆角可用小圆弧r2画，其中图9-13c是简便画法。在平板的圆角上各量R值得切点，并自该点作各边的垂直线，它们相交得A、B两点，A、B两点就是r1、 r2的圆心，垂直线长度就是、r1或 r2。
图9-13 平板圆角轴测图的画法
七．正等测图画法综合示例
[例1] 根据视图画出切割体的正等测图如图9—14所示。
由于弯管各节圆柱斜口的倾角相同，如果把各节圆柱一反一正叠置在一起，恰好构成一完整的圆柱管[图8-11（a）]，其展开图为一矩形。因此可以先画出首节（或尾节）的展开图，再以它为样板，画出其余几节的展开图[图8-10（b）和图8-11（b）]。这样可使画图简单、排料合理、下料方便（注意每节圆柱要留有切割余量）。
图9-14 切割体正等测图的画法
（a）定坐标位置 （b）画轴测轴及长方体的底面 （c）画出长方体 （d）切去前上倾斜部分 （e）画出前中央凹槽 （f）描深
[例2] 根据视图画出支架的正等测图如图9—15所示。 
图9-15组合体正等测图的画法
（a）定坐标圆点 （b）画坐标轴 （c）画底板和圆柱 （d）画圆孔 （e）描深
