自动控制理论_2.4 控制系统的结构图(2)

2.4.3  控制系统的传递函数
图2.26是一个控制系统的结构图。该系统的输入变量有两个：给定值x(t)和扰动变量d(t)。对于线性系统，我们可以应用叠加原理分别求出在只有x(t)作用时的输出和只有d(t)作用时的输出。
只考虑x(t)时，令d(t)=0,按环节基本连接方法，可以得到Y(s)与X(s)之间的传递函数

             (2.55)

式（2.55）称为输出量对于给定值的闭环传递函数。通常我们所说的控制系统的闭环传递函数就是指（2.55）式所表示的传递函数。
只考虑d(t)的作用时，令x(t)=0,可以求得Y(s)与扰动变量D(s)之间的传递函数

           (2.56)

    我们称式（2.56）是输出变量对于扰动变量的闭环传递函数。需要指出的是，式（2.56）并不具有普遍的意义，因为这个传递函数与扰动变量的作用点有关。若d(t)的作用点发生变化，传递函数就具有另外的形式，必须根据结构图重新推导。
在x(t)和d(t)共同作用下，图2.26所示的系统的输出为

         (2.57)

从式（2.57）可以发现，不论哪一种闭环传递函数，其分母都是相同的。我们称其为该反馈控制系统的特征多项式。而把方程

称为该系统的特征方程。特征方程的根称为系统的闭环极点。闭环极点与输入变量（给定值和扰动量）的作用点位置及信号形式无关，它反映了系统本身的固有特性。 2.4.4  控制系统结构图的等效变换
    从控制系统的结构图求闭环传递函数，对于结构较简单的系统，可以直接应用3种基本联接方法，对系统逐步化简，最后等效成一个函数方块。
例16  求图2.27所示控制系统的闭环传递函数。  

解  对，的并联环节和所构成的反馈联接，可以等效为图2.28（a）的形式。然后依次按串联、反馈联接进行等效变换，就可以最终等效成一个函数方块，求出闭环传递函数，如图2.28（c)所示。
在控制系统中，常会遇到包含多个反馈回路而且存在反馈回路交叉的复杂结构图。对这种系统，用3种基本连接方法，不可能直接求取闭环传递函数，而需要对结构图按等效的原则对函数方块进行重新排列，把原来的复杂结构变为较简单的结构，即通过等效变换进行结构图的简化。
结构图的等效变换是通过相加点和分支点的移动来实现的。
相加点沿信号传递方向越过某函数方块（称为顺矢向移动），或逆信号传递方向越过某函数方块（称为逆矢向移动），移动前后的输出应保持不变。图2.29给出了相加点移动的几种情况。
图2.29（a）是相加点顺矢向从方块前移动到方块后。为了保持输出信号在移动前后保持不变，应当在被移动支路中串入一个与方块相同的方块。图2.29(b)是相加点逆矢向从 方块后移动到方块前。在这种情况下，应当在被移动支路中串入一个与方块的倒数相同的函数方块。
分支点顺矢向或逆矢向越过某函数方块时，移动前后所得到的分支信号应保持不变。

图2.30给出了分支点逆矢向移动的规则。
分支点顺矢向移动的规则，读者很容易自己导出结论。
复杂结构图的简化首先是通过相加点和分支点的移动，消除交叉反馈，把结构图变为可直接应用3种基本连接方法的简单结构图，若简单结构图含有内部反馈回路，则由内向外逐步简化反馈回路，最后求出闭环传递函数。

（a）移动前；（b）移动后

例 17 简化图2.31所示的控制系统结构图，求其闭环传递函数。
 

解  控制系统结构图的简化过程如图2.32所示。
图2.32是移动相加点，消除交叉，这是最关键的一步。交叉消除后，从最内层的反馈回路入手逐步进行简化，如图2.32的（b）,(c),(d)所示。

例  18 求图2.33所示复杂控制系统的闭环传递函数。
这是一个存在交叉反馈的复杂控制系统。若通过相加点和分支点的移动进行等效变换，过程比较复杂。对于这类控制系统，可以采取另一种方法，即分析系统中信号的传递方向及传递关系，根据信号的传递关系对结构图进行重组，把复杂的结构图变为简单的结构图。本体的关键是抓住两个寒暑方块前的相加点，分清哪些信号是前向通道信号，哪些是反馈通道信号。重组后的结构图如图2.34（a）所示。这是一个含有并联关系的反馈回路。因为不存在交叉反馈，很容易简化成图2.34（b）的形式。

2.4.5 梅森公式
    梅森公式是基于控制系统信号流图简化系统的公式，也可以直接应用于控制系统的结构图。对于有些复杂的结构图，应用等校变换进行简化非常困难，而应用梅森公式，则可直接写出系统的传递函数。
梅森公式

                (2.58)

 是第i条前项通道的传递函数。前项通道是指从输入端沿箭头方向到输出端并且通过每个函数方块只能有一次的通道。该通道所有传递函数的乘积,称为该前项通道的传递函数。
是系统特征式。

是指所有不同回路的回路传递函数之和。回路是指信号传递的起点就是信号传递的终点并且信号只能每个函数方块通过一次的闭合通道。该回路上所有传递函数的乘积，成为回路的传递函数。     
是指所有两个互不接触回路的回路传递函数乘积之和。
是指所有3个互不接触回路传递函数之和。
是在特征式中，把与第i条前项通道相接触的回路有关项去掉后所剩余的部分，即的余子式。
例 19 用梅森公式求图2.33 所示系统的传递函数。本例中，共有4挑前项通路，传递函数为

共有5条回路，其传递函数为

没有两个互不接触的回路和三个互不接触的回路

因为所有回路互相接触，所以

特征式

 

由此,根据梅森公式可以得到

                 

    在应用梅森公式时需要特别注意的是，应准确地找出所有前向桐庐，正确地确定各种不同的反馈回路，不能遗漏也不能重复。