自动控制理论_2.5 控制系统的状态空间表达式

2.5 控制系统的状态空间表达式

2.5 控制系统的状态空间表达式

    随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。

 2.5.1  状态变量
    在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要确定了这组变量在t= 时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。
一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。若用 表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)的分量。我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为

分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化，x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。

2.5.2  状态空间表达式
1. 状态方程
    由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。
对于线性系统，可以写成如下形式

      (2.59)        

记为

                (2.60)

式中x(t)是n维列向量

u(t)是r维输入向量

A是n*n维矩阵，称为系数矩阵

B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵

若矩阵A和B的元素都是常数，则状态方程是线性定常的。若A和B中有随时间变化的元素，状态方程就是线性时变的。状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。
对于非线性系统，状态方程可以写成如下形式

                (2.61)

记为

             (2.62)

式中f为向量函数。
2. 输出方程
    描述系统的输出变量与状态变量和输入变量关系的方程，称为输出方程。
线性系统的输出方程具有以下形式

               (2.63)

记为

                     (2.64)

式中y(t)为m维列向量，称输出向量   C为m*n维矩阵，称为输出矩阵

D为m*r维矩阵，称为直接传输矩阵

    线性定常系统的输出矩阵和直接传递矩阵的所有元素均为常量。
    非线性系统的输出方程可表示为

           (2.65)

式中g称为向量函数。
输出方程中不含有变量的任何导数项。
3. 状态空间表达式
系统的状态方程和输出方程总称为系统的状态空间表达式

     (2.66)

或  

           (2.67)

传递函数是系统输出与输入之间关系的数学描述，它所描述的系统的动态特性并不涉及系统内部各种变量的问题，是从外部看到的系统的一种整体特性，我们称其为外部特性。应该说，传递函数对系统特性的描述是不完全的。在状态空间表达式中，状态方程反映了输入对系统内部状态的影响，即输入改变了系统的状态，而输出方程则反映了状态变量对输出变量的影响，即状态改变产生了输出改变。状态空间表达式包含了系统运动的内部信息（状态）和外部信息（输出），是对系统动态特性的完整描述。
图2.35是系统状态空间表达式的结构图。图中用双线箭头表示向量信号。

2.5.3  状态空间表达式的建立
    建立控制系统的状态空间表达式，可以根据系统运动的内在机理直接建立状态方程和输出方程，也可以根据系统的微分方程，传递函数或结构图来建立。后者称为模式转换问题。
1. 由微分方程建立状态空间表达式
（1）不含输入函数倒数项的n阶线性系统。
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式

    (2.68)

当  等初始值及在时的输入函数已知时，系统在t时刻的行为就可以完全确定。所以，可以选取共n个变量为系统的状态变量

方程（2.68）可以写成

这就是n阶线性系统的状态方程，记为

          (2.69)

式中

         维矩阵

    维矩阵

       维矩阵

输出方程为

记为

                   

式中

             维矩阵

    具有上面A矩阵形式的矩阵称为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线右上方的元素为1，最后一行的元素可取任何值，其余元素为零。
（2）含有输入导数项的n阶线性系统
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式

     (2.71)

对于这种情况，若仍按不含输入导数项的微分方程的处理办法，状态方程就会出现输入函数的导数项，这是不允许的。
我们可以这样来选取状态变量

式中

状态方程可写为

 (2.72)

输出方程为

          (2.73)

状态空间表达式记为

                          (2.74)

式中系数矩阵仍为友矩阵

        维矩阵

控制矩阵为

       维矩阵

输出矩阵为

          维矩阵         

而

    因为描述线性定常系统的高阶微分方程是单输入单输出系统，所以状态方程中输入函数只有一个，输出方程中输出变量也只有一个，与其相关的矩阵形式也较为简单。
例20  某线性定常系统的微分方程为

写出其状态空间表达式。
解  先把方程变为式（2.68）的形式

设状态变量为

则状态空间表达式为

其中

例21  控制系统的微分方程为

写出其状态空间表达式。
解  这是输入函数具有导数项的微分方程。先计算：

参照式（2.72），（2.73），可得到状态方程

输出方程为

状态空间表达式为

2.由传递函数建立状态空间表达式
    已知控制系统的传递函数，可以求取其拉普拉斯的反变换，得到系统的微分方程，再根据微分方程写出系统的状态空间表达式。
例22  已知控制系统的闭环传递函数为

写出其状态空间表达式。
解  先写出

对上式进行拉普拉斯反变换，得到

再计算

状态空间表达式为

其中

    根据已知的传递函数，引入一个中间变量Z(s)，用下面的方法也可以建立系统的状态空间表达式。
设已知的传递函数具有下面的形式

             (2.75)

引入中间变量z(s)，即令

             (2.76)

其中

  (2.77)                      

        (2.78)

因而有

          (2.79)

          (2.80)

选取中间变量z(t)及其各阶导数为状态变量：

   

由（2.79）式可得到状态方程，由（2.80）式可得到输出方程

其中

        维矩阵

           维矩阵

           维矩阵

从式（2.80）可以看出，输出变量只与m+1个状态变量有关，通常情况下m 例23  已知

将其转换为状态空间表达式。
解 设中间变量为Z(s)，则有

由此写出状态空间表达式

引入中间变量，画出结构图，根据结构图也可以写出状态空间表达式。
例24  设系统的传递函数为

        (2.83)

引入中间变量，得到

       (2.84)

            (2.85)

    根据（2.84）式可以画出系统的结构图，如图（2.36）所示。作图的过程是：先画出数目与传递函数阶次相同的积分环节，积分环节按串联连接。从最左端积分环节开始，每个积分环节的输出取作状态变量，式（2.84）的系数作为反馈回路的系数。根据结构图可以写出状态空间表达式

             (2.86)

                    (2.87)

    结构图中，前向通路、反馈通路的系数和状态空间表达式的A,B,C三个矩阵的元素间都有确定的对应关系。读者熟练后，可直接根据传递函数画出结构图，从而写出状态空间表达式。也可以根据状态空间表达式画出结构图，进而写出系统的传递函数。
    给定一个系统的传递函数，若存在一个状态空间表达式仍保持了原传递函数的输入输出关系，我们称此传递函数是可实现的。传递函数可以实现的充分必要条件：它必须是一个真有理函数，即传递函数分母的阶次n与分子阶次m必须满足。从一个传递函数出发，用不同的方法，可以建立无穷多个状态空间表达式。所以，传递函数的实现不是唯一的。