自动控制理论_3.4 阶系统的瞬态响应

3.4 高阶系统的瞬态响应

    用二阶以上微分方程描述的系统，统称为高阶系统。描述高阶系统的微分方程为：

    (3.67)

系统的传递函数为

         (3.68)

在单位阶跃输入下，系统响应为

          (3.69)

系统的特征方程为

假设特征方程有q个实数根，r对共轭复数根，则特征方程可写为（q+2r=n)

        (3.70)

将式（3.70）代入式（3.69）得：

     (3.71)

式（3.71）的拉普拉斯反变换具有下面的形式

      (3.72)

    式（3.72）表明，高阶系统是由若干惯性环节和振荡环节组成的。凡是实数闭环极点，对应着输出响应中的指数函数项，凡是共轭复数闭环极点，对应的则是输出中的振荡项。
    在高阶系统中，凡距虚轴近的闭环极点，指数函数（包括振荡函数的振幅）衰减就慢，而其在动态过程中所占的分量也较大。如果某一极点远离虚轴，这一极点对应的动态响应分量就小，衰减得也快。如果一个极点附近还有闭环极点，它们的作用将会近似相互抵消。如果把那些对动态响应影响不大的项忽略掉，高阶系统就可以用一个较低阶的系统来近似描述。
    在高阶系统中，若按求解微分方程得到响应曲线的办法去分析系统的特性，将是十分困难的。在工程中，常有低阶近似的方法来分析高阶系统。闭环主导极点的概念就是在这种情况下提出的。若系统距虚轴最近的闭环极点周围无闭环极点，而其余的闭环极点距虚轴很远。我们称这个极点为闭环主导极点。高阶系统的性能就可以根据这个闭环主导极点来近似估算。工程上往往将系统设计成衰减振荡的动态特性，所以闭环主导极点通常都选择为共轭复数极点。图3.20是一个选择闭环主导极点的例子。图中，共轭复数极点 和 距虚轴最近，而 和 ， 3个极点距虚轴的距离比 ， 距虚轴的距离大于5倍以上，因此可以把 ， 选为闭环主导极点，把一个5阶系统近似成二阶系统。
    使用闭环主导极点的概念有一定的条件，因次不能任意使用，否则会产生较大的误差，得不到正确的结论。

例4  已知控制系统的传递函数为

求其单位阶跃响应。
解

            

              

这是一个三阶系统。系统的闭环极点是

在S平面上的分布如图3.21所示。

例5  已知系统的传递函数为

求系统的单位阶跃响应。
解  系统的闭环极点为

闭环极点在S平面上的分布如图3.22所示。
    从图3.22可以看出，闭环极点 远离虚轴，其距离虚轴的距离是共轭复数极点 和 距虚轴距离的10倍。因此，我们可以忽略的影响，而把，作为闭环主导极点，使系统由三阶降为二阶