自动控制理论_2.6 传递矩阵

2.6 传递矩阵

2.6  传递矩阵

2.6.1  由状态空间表达式求传递函数
对于单输入单输出系统，其状态空间表达式为

        (2.88)

式中，x是n维列向量，A是n*n维方阵，B是n*1维矩阵，C是1*n维矩阵，一般情况下D=0,由于是单输入单输出系统，y和u都是标量。
对式（2.88）求拉普拉斯变换，并设初始条件为零，得到

             (2.89)

                   (2.90)

从式（2.89）可得到

               (2.91)

式中I为单位矩阵（或称么阵），单位矩阵是主对角线上的元素为1，其余元素全为零的矩阵。是的逆矩阵。将（2.91）式代入（2.90）式得到

           (2.92)

传递函数为  

                (2.93)

2.6.2  传递函数
对于有r个输入变量，m个输出变量的多输入多输出线性定常系统，其状态空间表达式为

               (2.94)

                      (2.95)

式中

         维列向量

           维列向量

     维矩阵

      维矩阵

       维矩阵

       维矩阵

A,B,C,D矩阵的元素均为常量。对（2.94）式和（2.95）式求取零初始条件下的拉普拉斯变换后可以得到

          (2.96)

     (2.97)

G(s)称为传递矩阵，是m*r维矩阵。传递矩阵的每个元素都是单个输出变量与单个输入变量之间的传递函数，即

            (2.98)

2.6.3  多输入多输出系统的解耦控制
式（2.97）表示的传递函数矩阵说明，在多输入多输出系统中，每一个输入变量对所有输出变量都有影响，而每一个输出变量则与所有的输入变量有关。这种复杂的关联称为变两间的耦合。耦合严重的系统，很难通过改变一个输入信号去影响一个输出信号，造成了控制上的困难。
|图2.37 是一个有两个输入变量与两个输出变量的交叉的被控对象。可表示为

     (2.99)

式中

          (2.100)

为被控量的传递函数矩阵。若组成图2.38 所示得控制系统，只要一个控制器改变信号，两个输出变量都会变化，不能做到一个控制变量只控制一个输出变量。如果我们在系统中增加一个变量，其传递函数为

               (2.101)

使得

若 称为一个对角线矩阵，即

           (2.102)

则控制系统可以构成图2.39所示的控制系统。

图2.39 所示的系统可以等效为图2.40所示的系统。

根据图2.40，可以得出

         (2.103)

式(2.103)表明，系统已经消除了耦合关系，实现了一个控制器只控制一个输出变量。图2.40 所示的控制系统相当于两个独立的控制回路。这种控制方式称为解耦控制。
在系统中引入的装置成为解耦装置。依靠引入解耦装置消除系统间关联的方法称为理想解耦或完全解耦。
    解耦装置的数学模型往往比较复杂，一般需要用计算机在实现。因为理想解耦实现起来很困难，所以又出现了多种简化解耦方法，这里不再详述。