第七节 数学的全面繁荣
古人在算术、代数和几何学等方面已经积累了相当的知识，尤其是初等几何学已形成了比较完整的学科体系。不过欧洲自罗马人统治到中世纪时期数学衰落了。中国古代数学在宋元后也进入了低潮。数学作为一门科学重新起步是在经过文艺复兴运动冲击以后的欧洲。文艺复兴的浪潮涤荡着人们的思想，许多欧洲人逐新认识到基督教神学并不就是真理。重新展现的古希腊的数学成就和数理思想给了人们很大的启发，东方数学(主要是阿拉伯人的数学)的传入又打开了人们的眼界。于是，在一些人看来，似乎只有数学和数理才是亘古不变的，才是最可靠的。虽然大多数人并不放弃对上帝的信仰，但是与其信仰神学的说教不如相信上帝以数理来构造世界更有说服力。当然，揭开数学史新篇章的主要动力来自欧洲经济的发展与社会的进步。来自自然科学发展的需求，特别是天文学、力学这些当时的前沿学科的迫切需求。在古希腊人那里，研究数学主要是追求理性上的满足，这时的欧洲人却在很大程度上是为了描述客观现象和规律以及其他实用上的需要。因此在近代初期，欧洲数学的实用色彩强烈，经过一个时期的发展之后，人们又把注意力转向理论方面。16～19世纪是数学发展史上的重要时期，从对数的发明到代数学、解析几何学、数学归纳法、微积分学、概率论、非欧几何学、逻辑代数学等的建立和发展，展现了十分绚丽多彩的画面，现摘其要略述于后。
7.1代数学的成熟
东方的代数学传入欧洲之后，它的实用价值引起了一些务实的学者的注意，从此代数学作为数学的一个分支使在欧洲迈开了前进的步伐。上文已经述及，古代阿拉伯人已经能解一般的一无二次代数方程，这些知识随着阿拉伯人的数学传入了欧洲，而中国古人解代数方程的许多技巧欧洲人尚无所知。
古代东方的代数学注重实用，在数理方面没有作太多的探讨，因而在解二次方程出现负根和含有无理数或虚数(即负数的平方根)的根时或接受或舍弃，不曾存在什么障碍。欧洲人则深受到古希腊人对于数的理解的束缚，只承认那些一个一个数得出来的数，他们不懂得负数，对于无理数作为一个数也大多不能接受，至于虚数就更难接受。他们曾为此伤透了脑筋。直到16世纪，意大利人篷贝利(Rafael Bombelli，1526～1572)给出了负数的定义承认它是一个数，其后荷兰人斯蒂文(Simon Stevin，1548～1620)才表明接受负根的存在。斯蒂文也是最早承认无理数是数的人。负根和含有无理数的根，到这时才算取得了“合法”的地位。至于含有虚数的根，是首先为意大利人卡尔达诺(Girolamo Cardano，1501～1576)所确认的。到了这个时候，解二次方程的问题才算是完全解决了。
古人已经能够解一些特殊形式的三次和四次方程，那么一般的三次和四次方程是不是也都能解呢?直到15世纪末人们还认为这是不可能做到的事情，但在现实中又常常会出现三次、四次甚至更高次的方程。于是，三次和三次以上方程求解的问题就成了此时数学家们所关注的课题。卡尔达诺，还有意大利人塔尔塔利亚(Niccolo Tartalea，1499～1557)和法国人维埃特(Francois Viete，1540～1603)对三次方程进行了比较深入的研究，他们弄清楚了三次方程应当有三个根，同时也解了更多类型的三次方程。对四次方程的研究也取得了类似的成绩。但是对于一般的三次方程和四次方程还是束手无策，四次以上方程更是毫无头绪。这种状况促使数学家们更加着力研究三次以上一般方程的解法，于是产生了代数方程论这一研究领域。
法国数学家吉拉尔(Albert Girard，1595～1632)于1629年和笛卡儿于1637年先后提出n次方程有n个根的猜想，后来经过许多数学家的努力，才在1799年由德国科学家高斯(Carl
Friedrich Gauss，1777～1855)作出了证明，被称为代数学的基本原理。16～17世纪期间，卡尔达诺、笛卡儿和牛顿等人对一般代数方程的各项系数与该方程的根的关系作了大量的研究。卡尔达诺发现，n次方程各个根之和等于这个方程的xn-1项的系数的负值。笛卡儿和牛顿又弄清楚了一个方程的正根、负根和复根(即含有虚数的根)的个数与这个方程各项系数的正负号的关系。又经过许多人工作，到了18世纪70年代，法国数学家拉格朗日找到了一种方法，这种方法对解一般的二次、三次和四次方程都很有效，但是对于解一般的五次和五次以上方程还是无能为力。高斯在1801年发表的一篇文章中宣称，一般的五次和五次以上方程求根式解的问题也许是永远不可能解决的了。不过，高斯又证明了某些形式的n次方程求解的可能性。其后挪威数学家阿贝耳(Niels Henrik Abel，1802～1829)继续研究这个问题，他终于证明了高于四次的一般方程是不可能用根式来求解的。紧跟着，法国数学家伽罗瓦(Evariste Galois，1811～1832)又着手研究可以用根式求解的n次方程的类型问题，他的工作卓有成效。伽罗瓦还由此开辟了代数学的一个新的领域——群论的研究。
一般高次方程求根式解已被证明是不可能的事，但是对于一般的实际问题，常常只要求得实根的近似值即可满足，并不需要求得所有的根和它们的准确值。于是数学家们又朝这个方向努力。这个任务于1819年由英国数学家霍纳(William George Horner，1786～1837)完成了。他所发明的方法被称为“霍纳方法”，有很高的实用价值。其实，霍纳方法与我国13世纪的秦九韶所运用的方法是相同的，不过那时欧洲人并不知道秦九韶已经走在他们的前头。
以解方程为基本任务的古典代数学到19世纪上半叶已大体完成，此后代数学的发展进入了抽象代数学(或称近世代数学)的阶段，群论的出现就是重要的标志。这时人们更加关心的是代数结构的问题。除了群论之外，代数数论、超复数系、线性代数、环论、域论等等许多新的分支相继出现，代数学的研究领域更加宽阔。这个时代之始，代数学以其解决实际问题的效能吸引着人们，现在它又向着比较抽象的理论的方向发展了。
7.2解析几何学的创立和变量数学的兴起
几何学是古希腊的“数学之王”，那时一些代数上的问题实际上都是用几何学的方法来解决的。到了近代，当代数学取得了很大成功的时候，人们又反其道而行，试图用代数学的方法来解决几何学的问题，再加上描述变量关系的需要，由此便产生了解析几何学。前已述及，法国人奥勒姆在研究运动学的问题时采用了坐标的方法，预示了解析几何学的诞生。解析几何学的创立则应归功于奥勒姆的同胞费马(Pierre de Format，1601～1665)和笛卡儿。
费马在代数学上很有成就，他在研究曲线轨迹的问题时，想到把代数学运用到几何学里，采用了在一个坐标系中以一系列的数值表示一条曲线轨迹的方法。不过他关于这个问题的著作是在他去世以后才公开发表的。
笛卡儿是一位学识渊博的学者。他在不知道费马的工作的情况下写成了《几何学》，这是作为他的重要哲学著作《方法谈》的一篇附录于1637年发表的，这部著作的副标题是“更好地指导推理和寻求科学真理的方法”，所述的是认识方法，可见他是把解析几何学作为一种认识方法来看待的。我们知道，古希腊人习惯于用线条和图形来表示数。在他们那里，如果一条直线的长度代表某数a，那么以这条直线为边长所构成的正方形便代表a2，以这条直线构成的立方体便代表a3，至于更高次的变量他们便无能为力了。笛卡儿打破了这个既定的框框，他改为，a2也可以用一条长度为a2的直线来表示，同样，a3、a4、a5……以至任何一个数都可以用线段的长度来表示。这样，在由两条直线构成的平面坐标系里的几何图形都可以转化成一个二元方程，或者说任何一个二元方程都可以在这个坐标系里描绘成一个图形。由于有了这种方法，平面几何学的问题就都可以用代数学的方法来处理了。
笛卡儿的《几何学》问世后，费马声称该项工作他在七年前就已完成了，两人曾为发明权而发生争执。其实他们两人都作出了贡献。费马从代数方程出发来寻找其轨迹，笛卡儿则从轨迹出发来寻找其代数方程，是殊途而同归。他们的解析几何也都未臻完善，如他们的坐标系都还没有负数等等。解析几何学出现的时机成熟了，它是数学发展的必然产物。
解析几何学所带来的好处，一方面是使得一些代数问题形象化，另一方面是几何学的问题从此可以用代数学的方法来解决。过去人们解决几何学上的难题，主要是通过逻辑推理，凭借的是智慧和技巧，如今只要用比较容易掌握的、简单得多的代数运算就行。更为重要的是解析几何学为物理学提供了一种非常有用的数学工具。那个时候物理学研究的主要领域是力学和光学，探讨运动学和几何光学的问题都离不开几何学，而物理学的研究总是要以获得某些物理量间相互关系的代数式为目标。解析几何学的发明给了物理学一种描述运动变化的极好的手段。过去的数学所能做到的只是描写一些确定的、不变化的量，解析几何学使得变量韵描述成为可能，这是数学发展史上的一次质的飞跃。
7.3微积分与数学分析学的产生
微积分是微分和积分的合称，这是牛顿和德国科学家莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646～1716）几乎在同一个时候建立的，他们和他们的门徒也曾为发明权的问题而争吵，对数学的发展产生了不利的影响，实应为后人训。其实，这时微积分学出现的条件已经成熟，前人已经为此做了很多工作，即使不是牛顿或者莱布尼兹，其他学者也是必定会完成这个任务的。
在物理现象中，物理量变化的情形十分复杂。比如在自由落体运动中物体下落的速度时时刻刻都在变化，不过它的加速度g是恒定的，我们要知道其中某一时刻该物体的运动速度，以往的数学工具也还够用。但是，如果某物体运动中的加速度的大小和方向也时刻发生复杂的变化，我们要知道这个物体某一时刻的速度(一般称为“瞬时速度”或“即时速度”)，原先的数学工具就大多不能处理了，这时就得借助于微分的方法。
积分方法是微分方法的逆运算，它的发明也是出自实际的需要。以往人们用于计算一已知曲线所围面积的穷竭法是一种很麻烦的方法，并且难于得到准确的数值。运用积分方法事情就变得简单了。
微积分在物理学和天体力学上的应用取得了极大的成功，它很快就成为普遍应用的处理变量的数学工具。随后，在微积分的基础上逐渐形成了包括许多分支的数学分析学，其中主要有微分方程、积分方程、无穷级数、变分法、实变函数论、复变函数论等等，它们在物理学和工程技术中都有重要的用途。
7.4概率论的建立
概率论的思想在古代已有端倪，但它正式形成为数学科学的一个分支，则是近代的事。现实中存在的量，有时候并不表现为精确的数值而只有统计的意义，概率论就是研究这类问题的一个数学分支。
概率论的建立，首先是费马和与他同时代的帕斯卡(Blaise Pascal，1623～1662)的功绩。人们研究概率论是从考察一些有关游戏和赌博的问题开始的。以骰子作游戏至少已经有三四千年的历史，后来它也是一种赌博用具。骰子有六个面，上面分别标示一至六个点。如果抛掷一颗骰子，要是只掷一次，出现一至六点的可能性是完全相等的，至于实际上出现那一个点数就完全是偶然的了。要是抛掷的次数很多，出现某一个点数的次数就将接近言，抛掷的次数越多越是接近这个数值，表现为一种统计上的必然性。在大量具有偶然性的事物中寻找其统计上的必然性，或者说寻找其中出现某事件的概率，这时就需要运用概率论。
概率论的应用范围十分广阔，它不仅在自然科学上有重要的效用，而且已经渗透到国民经济、生产技术、商品流通等等许多领域，成为描述内含众多事件和存在着偶然性的客观现象的有效工具。例如在对热现象的研究中，我们知道热现象实际上是大量分子运动的表现，我们不可能弄清楚其中每一个分子的运动状态，因为对每一个分子来说，它的运动状态都具有偶然性，但是我们可以运用概率论的方法弄清楚在某——种情况下有多大比例的分子的速率处于某一个数值范围之内，这就表现为必然性。又如我们说吸烟可能导致肺癌，但是我们不能说某个吸烟的人必定得肺癌或者必定不得肺癌，我们只能通过统计的方法计算出吸烟的人得肺癌的可能性，即计算出吸烟的人得肺癌的概率，或者更具体一点，计算出平均每天吸多少支烟的人得肺癌的概率，通常以一个百分数来表示。
7.5非欧几何学的出现
欧几里得在总结和整理古希腊几何学的时候，首先列出他认为不证自明的五条公理和五条公设。所谓公理是适用于一切科学的真理，公设则是几何学中的真理。他从这些公理和公设出发，经过一系列逻辑推理和演算，得出各个具体的定理和推论，从而构成整个几何学体系。
欧几里得几何学在逻辑上的完美一向为人们所欣赏，不过很早就有人注意到他的第五公设存在着一点问题。第五公设是这样说的：“若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。”这条公设也被称为平行线公设。那时人们并没有怀疑这条公设的真理性，只是觉得这条公设不像其他公理和公设那样具有明显的说服力，问题在于是否可以假定物质空间中存在能够无限延长的直线。人们还注意到第五公设在表述上不如其他公理和公设那样明了和简洁。为了消除欧几里得几何学这个“疵点”，从托勒密开始，不少数学家都曾设法以其他公理和公设来证明第五公设，在经历了无数次失败之后，人们才不得不怀疑证明第五公设的可能性。既然这条公设不那么“不证自明”而又无法证明，它的真理性也就动摇了。人们终于弄明白第五公设不过是纯粹经验性的假设，第五公设发生了问题，欧几里得几何学作为一个整体也就有了问题。这是到18世纪数学家们才想到的。既然欧几里得几何学是从一组自身不导致逻辑矛盾的假设的基础之上而演绎出的几何学体系，那么，如果有另外一组也不会导致逻辑上的矛盾的假设，是否也有可能演绎出另外一种几何学体系呢?
循此思路，1817年高斯就试图建立一种新的几何学，他还相信这种新的几何学也必有其实用价值。可是，高斯对于发表他这方面的工作成果过于谨慎，创建非欧几何学的荣誉落到了受到过他影响的另外两个人身上，他们是俄国人罗巴切夫斯基(Николай Иванович Лобачевский，1792～1856)和匈牙利人博耶(Janos Bolyai，1802～1860)。
罗巴切夫斯基从1826年开始发表了一系列论文。他考虑，欧几里得的平行线公设实际上是说通过一直线外的一点在一平面上只能作一条平行线，如果把它改为可以作无数条平行线，其他公理和公设则仍旧，那将又如何呢?他发现，从这样一组更改过的公理和公设出发，经过演绎推理，同样能够建立一个几何学体系，在这个体系内并没有发生逻辑上的矛盾。于是，一种与欧几里德几何学不相同的非欧几何学便诞生了。这样的几何学纯粹是由假设和逻辑推理构成的，没有任何实践经验作为基础，是不是一种数学游戏?罗巴切夫斯基不这样想，他认为在尺度很大的空间里，有可能满足他的平行线假设的条件。在1829～1830年间发表的文章中，他提出他的非欧几何学在比地球半径大50万倍的空间里有可能适用。罗巴切夫斯基的创新在当时没有引起人们太多的关注，他本人曾为此而沮丧。那时，博耶也在独自研究同样的问题，大约在1825年左右也建立了他的非欧几何学，他的成果与罗巴切夫靳基所完成的工作十分相似。
当博耶读到罗巴切夫斯基的著作时非常恼火，以为那是抄袭了他的成果。而在高斯知道博耶的非欧几何学时也十分生气，说那不过是他的工作的翻版。其实他们三人都各自作出了贡献，罗巴切夫斯基和博耶受到过高斯以及其他一些学者的启迪也是事实。几何学发展到了这一步，非欧几何的出现也是瓜熟蒂落的事情了。非欧几何学的出现是数学史上的一件大事，但当它诞生之时并不为人们所赏识。一般人仍然相信欧几里得几何学是物质空间的唯一真实的描写，非欧几何学不过是出于猎奇而主观构造出来的玩意儿，没有任何实在的意义。
过了多年后，德国数学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826～1866)重新研究这个问题，他认为也可以假定在一平面上的任何两条直线延长必定相交，即不存在无限延长而不相交的平行线。据此他又创立了另外一种非欧几何学。1854年黎曼发表了他的研究成果。我们在下文将要说到爱因斯坦(Albert Einstein，1879～1955)创立广义相对论，而广义相对论适用的数学工具正是黎曼的非欧几何。到了那个时候，非欧几何学的意义和它的实用价值也才为人们所真正认识。
