第三讲 平面内的点和直线
1.知识要点
（1）点和直线的位置关系
（2）线和直线的位置关系：平行、相交、异面
（3）点和平面的位置关系
（4）直线和平面的位置关系
（5）平面和平面的位置关系
2.教学设计
不讲太难的画法几何题目，只介绍点、线、面之间的相对位置及其投影特性，同时结合模型讲相对位置。要注意教学大纲要求直线和平面、平面与平面的位置关系，只研究至少一个元素和投影面处于特殊位置的情况。
3.课前准备
熟悉课件中的素材，整理自己的演示文稿
4.教学内容
（1）点和直线的位置关系
点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上。若点在直线上，点的三面投影必落在直线的三面投影上，且点分空间线段所成的比等于点的投影所分线段的投影所成的比；若点不在直线上，则点的三个投影至少有一个投影不在直线的投影上。如图3-15所示。
图3-15点和直线的位置关系
（2）直线和直线的位置关系
直线和直线的位置关系有平行、相交和异面（交叉）。
1)平行若空间两直线平行，则其三投影必平行，当空间直线为一般位置直线时，若直线的两个投影对应平行，即可断定空间两直线平行；当空间直线为投影面
图3-16两直线平行
平行线时，若两个投影对应平行，且其中一个投影反映两直线的实长，也可断定空间两直线平行，若两投影均不反映实长，则不能由两个投影断定空间直线平行；当空间两直线同时垂直于一个投影面时，两直线平行。如图3-16所示的直线中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四对直线中只有一对直线不平行，你能断定是哪对直线吗？
2)空间两直线相交若空间两直线相交，则三个投影必相交，且交点符合点的投影规律，若三个投影必相交，但交点不符合点的投影规律，则空间两直线异面。图3-17中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四对直线中只有一对直线不相交，你能断定是哪对直线吗？
图3-17两直线相交
3)异面直线异面直线是非共面的两条直线，若其投影线段相交，则交点对应于异面直线上的不同点，称之为重影点，对重影点可见性的判断，可以帮助判断两直线的交叉关系。图3-18所示直线中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、N1和N2四对直线中只有一对直线不是异面直线，你能断定是哪对直线吗？
4)直线和直线垂直直线和直线垂直不是一种独立的位置关系，可分为垂直相交和垂直异面。空间互相垂直的两条直线（垂直相交或垂直异面），若两条直线都与某投影面倾斜，则两直线在该投影面上的投影不垂直，只有当两条直线中至少有一条直线平行于该投影面时，两直线在该投影面上的投影才垂直。图3-19所示直线中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、N1和N2四对直线中只有一对直线不垂直，你能断定是哪对直线吗？
图3-18异面直线
图3-19两直线垂直
（3）点和平面的位置关系
点和平面的位置关系有两种：点在平面上和点不在平面上。若点在平面内的一条已知直线上，则点必在平面内。如图2-17（a）所示，已知平面ABC的两投影，且K点在平面ABC上，K的V面投影k’已知，求作K点的H面投影。这个基本作图非常有用，如图3-20（b）所示的三棱锥，当钻出一个三棱柱孔时，三棱柱孔的两端面三角形在三棱锥的前后侧面上，可利用点在平面上的基本作图求出其H面投影和W面投影。
图3-20平面上的点
（4）直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系有平行、相交和直线在平面内三种位置关系。直线与平面垂直是相交的特例。
1)直线在平面内若直线上的两点在平面内，则直线在平面内；过平面内的一个已知点，作平面内的一条已知直线的平行线，则直线在平面内。图3-21（a）为基本作图过程，图3-21（b）为四棱锥上钻一个三棱柱孔的三视图，三棱柱孔的端面三角形在四棱锥的前后侧面上，三棱柱孔的主视图已知，可用上述基本作图求出三棱柱孔的俯视图和左视图。
2)直线与平面平行直线与平面平行的判定定理是直线平行与平面内的一条已知直线。过空间一点可以作无数条直线和已知平面平行，但过空间一点作已知平面的投影面平行线只能作一条。如图3-22所示，K点可能在平面ABC内，也可能不在平面ABC内，若K点在平面ABC内，则KL在平面ABC内；若K点不在平面ABC内，则KL和平面ABC平行。
3)直线和平面相交直线和平面相交时,交点为直线和平面的公共点,若直线和平面两者中有一个对投影面处于垂直位置,则交点可直接求出，如图3-23所示；若两者对投影面均处于一般位置，则不能直接求出，我们不讨论这种情况。图3-23（b）三棱柱和三棱柱交时的三视图，三棱柱和三棱柱的交线可理解为小三棱柱的三个侧棱和大三棱柱的两个侧面相交，用上述基本作图可求出其交点，然后根据可见性连线，即可得到三棱柱和三棱柱的交线。
左图3-21平面内的直线
图3-22直线和平面平行
图3-23直线和平面相交
（5）平面和平面的位置关系
平面和平面的位置关系有平行、相交两种情况，垂直是相交的特例。
1)平面与平面平行在一个平面内能作出两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行。过空间一点只能作一个平面平行于已知平面。如图3-24所示的五棱锥被水平面和侧平面切去一角后的三视图，水平截断面和五棱锥的底面平行。
图3-24平面和平面平行
2)平面和平面相交平面与平面相交时，其交线为两平面的公共线，若两平面均垂直于某投影面，则交线也垂直于该投影面；若两平面中一个为投影面垂直面，另一个为一般位置直线，则交线为一般位置直线。两平面中只要有一个垂直于投影面，则交线即可直接求出，如图3-25所示。若两平面均为一般位置直线，交线不能直接求出，我们不讨论这种情况。
图3-25平面与平面相交
5.本讲作业习题集
