第四讲 投影变换
1.知识要点
（6）求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角
（7）求一般位置平面对投影面的夹角
（8）求投影面垂直面的实形
（9）综合举例
2.教学设计
求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角有三种方法：直角三角形法、换面法、旋转法，我们只介绍前两种方法，而且把直角三角形法看成是换面法的特例；求一般位置平面的实形需要两次换面，我们分成两步讲解：求一般位置平面对投影面的夹角、求投影面垂直面的实形。
3.课前准备
准备教具和演示文稿。
4.教学内容
（1）求一般位置直线的实长及其对投影面的夹角
1)直角三角形法直角三角形法的原理如图3-26所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=ΔZ（B和A点的Z坐标差），AB为空间直线AB的实长，∠BAD为直线AB和H面的夹角α，从投影图可知ab和B、A点的Z坐标差ΔZ，所以可画出直角ΔabE,使ΔabE≌ΔABD，则aE为空间直线AB的实长，∠baE为直线AB和H面的夹角α。若求AB和V面的夹角β，可用a’b’和B、A点的Y坐标差ΔY为直角边作直角ΔabF，则∠Fa’b’为直线AB和V面的夹角β。
2)投影变换法一般位置直线可经过一次换面将其换成新投影面的平行线，在新投影面上的投影将反映空间直线对保留下来的旧投影面的夹角。例如若要求空间直线对H面的夹角α和实长AB，可在由V、H面组成的投影体系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直线AB平行，则在由V1、H面组成的新投影体系中AB为正平线，且线段AB端点的Z坐标不变，所以可由原投影求出直线在V1面上的投影。投影变换的原理如图3-27所示。
图3-26直角三角形法（制作动画）
图3-27换面法的原理（1）（制作动画）
若要求直线对V面的夹角β，可在由V、H面组成的投影体系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直线AB平行，则在由H1、V面组成的新投影体系中AB为水平线，且线段AB端点的Y坐标不变，所以可由原投影求出直线在H1面上的投影。投影变换的原理如图3-27所示。
图3-27换面法的原理（2）（制作动画）
（2）求一般位置平面对投影面的夹角
一般位置平面经过一次换面可以变换为投影面的垂直面，所以可经过一次换面求出其和投影面所成的角。若要求平面和H面所成的角α可换掉V面保留H面，将平面变换为新投影体系的正垂面，如图3-28所示。为了将一般位置直线变换为投影面垂直面，要先在平面内作一条水平线，X1轴和水平线的水平投影垂直，这样就可将这条水平线积聚为一个点，从而将平面积聚为一条直线。同理，若要求β角，则换掉H面保留V面，需在平面内作一条正平线，将正平线积聚成一个点。
（3）求投影面垂直面的实形
投影面垂直面经一次换面可将其换成投影面平行，从而求出其实形，换面原理如图3-29所示。一般位置直线可经过两次换面求出其实形，第一步先将一般位置直线换成投影面垂直线，第二次换面求出实形，。
图3-28求一般位置直线对投影面的夹角（制作动画）
图3-29求投影面垂直面的实形
（4）综合举例
[例1]已知物体的主视图和俯视图，分析物体上的平面对投影面的位置关系，想象物体的形状，补画出左视图。（图3-30）
【分析】首先想象其基础形体，基础形体为长方体，由主视图上两条斜线知，在长方体上用两个正垂面切去左右两个角，由左视图上的斜线知，在长方体上用一个侧垂面切去上前方的一个角，最后切去一个矩形竖槽，竖槽和侧垂面产生了交线。如图3-31所示。补画俯视图时，要先画长方体的投影，左右的切角，再画上前方的切角，后画矩形竖槽。
图3-30已知条件
图3-31补画俯视图
［例2］求平面ΔABC和矩形P的交线，判断可见性，补画俯视图。如图3-32(a)所示。
【分析】由V面投影可知，P平面是正垂面，ΔABC是一般位置平面。两平面的交线是一般位置直线，直线AC和P平面相交，交点K的V面投影为AC和P平面的V面投影的交点k’，水平投影在AC的水平投影上，所以，直线AC和P平面的交点可直接求出；线段BC和线段AB不与平面P相交，而矩形的左边和ΔABC相交，设交点为L，因左边为正垂线，所以不能直接求出交点的投影，我们注意到交点L的V面投影和矩形左边的V面投影重合，所以可利用平面上的点的已知一个投影求另一个投影的基本作图求出其水平投影l，作图方法见图3-32（b）所示。俯视图的可见性要从主视图上看才能知道两者的遮挡关系，首先交线的水平投影是可见的，且交线和可见和不可见的分界线，所以只要判断一条交线和另一个平面的遮挡关系即可，如直线AC和P平面的焦点K将AC分为AK和KC两段，AK的水平投影可见，KC的水平投影部分被P遮挡，其余类推。
图3-32平面和平面互交（制作动画）
[例3]已知平面ABC、平面P和点K的两面投影，过点K作直线KL，使KL平行于平面ABC和平面P。如图3-33（a）所示.
【分析】平面P为铅垂面，平面ABC是一般位置平面，所以两平面的交线EF为一般位置直线。若要过K点作一条直线，既平行于平面ABC，又平行于平面P，则该直线必平行于两平面的交线，所以先求出平面ABC和平面P的交线EF的两投影，再过K点作EF的平行线KL，则KL即为所求。如图3-33(b)所示。
[例4]完成四棱锥被两平面切割后的俯视图和左视图。如图3-34（a）所示。
【分析】由图可知，四棱锥的底面是水平面，四个侧面是一般位置平面。两个截平面中一个是水平面，一个是正垂面。水平面和四个侧面均相交，且交线平行与四棱锥底面的棱线，截断面为五边形，水平截平面的水平投影反映实形，侧面投影为一条直线段，所以只要求出右侧棱和水平截平面交点的水平投影，然后作底面侧棱的平行线，即可求出水平截断面的水平投影，根据宽相等即可求出其侧面投影；正垂截平面只和两个侧面相交，截断面为三角形，两个截平面的交线为正垂线，根据长对正先求出截断面的水平投影，然后根据宽相等求出其侧面投影。最后整理三棱锥的轮廓线，在左视图上，右侧棱的投影有一段和左侧棱重合，有一段被正垂截断面遮挡，所以画成虚线，这一点应特别注意。如图3-34（b）所是。绘制立体的三视图时，一定要先画出基础立体的三视图，然后再研究交线，最后整理轮廓线，最忌讳的是看到一条线就画一条线，不作形体分析，只画能看到的线，不画看不到的线。
图3-33直线与平面平行
5．本讲作业习题集
图3-34平面与平面相交
[例5]求图3-35所示立体“凸”字形断面的实形。
图3-35正垂面的实形
【分析】“凸”字形断面是正垂面，断面形状可理解为矩形切去两个小矩形。矩形的高度（39）在主视图上反映其大小，矩形的宽度（40）在俯视图上反映其大小，所以可画出矩形的实际大小。同理，可画出小矩形的实际大小。
[例6]求三棱锥的锥顶S到底面ABC高线的投影，如图3-36（a）所示。
分析:三棱锥S-ABC的四个面均为一般位置平面，锥顶S到底面ABC的高SD是一般位置直线，若将底面ABC经过投影变换成新投影面的垂直面，则高SD在新投影面上的投影和底面ABC的投影垂直，且SD平行于新投影面，所以，可求出SD在新投影体系中的投影。作图步骤如下：
（1）在底面ABC内作一条水平线，添加新投影轴，将底面ABC变换为V1面的垂直面；
（2）求出S在V1面内的投影s1’，过s1’作直线a1’b1’c1’的垂线s1’d1’,则s1’d1’为高线SD的V1面投影；
（3）过s作X1轴的平行线，过d’作X1轴的垂线，两线的交点d为D点的H面投影；
（4）利用d1’到X1轴的距离等于D点的Z坐标，可求出D点的V面投影d’。见图3-36（b）所示。
请读者想一想，上述作图方法求出的D点是不是垂足？为什么？
[例7]求图3-37所示变形接头左侧面和前面所成二面角的大小。
【分析】设接头左侧面和前面的交线为AB，在左侧面上取一点D，在前面上取一点C，则平面ABC和平面ABD所成的二面角即为接头左侧面和前面所成二面角。为了求出这个
图3-36投影变换法求三棱锥的高
二面角的实际大小，需要将交线AB变换为投影面的垂直线，而AB为一般位置直线，所以需要经过两次换面法才能将AB变换为投影面的垂直线。作图过程见图3-37。
图3-37求二面角的实际大小
