机械制图教程—2-9直线与平面及两平面相交

     直线与平面及两‘平面之间的相对位置可分为平行、相交两种情况。在相交中还有一种垂直的情况，在投影和读图时，也宜适当关注。本李只研究有直线或平面对投影面牌特殊位置时的特殊情况下相交的特性及作图方法。掌握直线与平面及两平面的相交，是解决平面与立体、两立体相交等有关问题的基础。

直线与平面相交、平面与平面如果不平行，则一定相交。

 

 

    直线与平面相交，只有一个交点。交点既在该直线上，又在该平面上，是直线与平面的共有点。研究直线与平面相交 问题就是为就是为了求交点。

（一）对一一般位置直线与特殊位置平面相交

由于特殊位置平面的某些投影（或迹线）有积聚性，因此，直线与特殊位置平面相交可利用该平面的且有积聚性的投影，直接找出交点的一个投影，再利用线上取点的方法求出交点的直线。

如图2—45a所示，直线MN和铅垂面△ABC相交，△ABC颊的水平投影bac积聚为一直线。交点K既然属于颊上的点，那么它的水平投影一定属于△ABC平面的水平投影。但交点K又属于直线MN，它的水平投影必属于直线MN的水平投影。图2—45b为赤诚交点的作图过程，MN的水平投影mn与bac的交点k便是K的水平投影；然后利用线上取点的方法在上找出对应K的正面投影。点K（k, ）即为直线MN和△ABC平面的交点。

 

判别投影图上的可见性:求出交点后,为了增加图形的直观性,需要在线、面投影的重影部分判别它们的可见性。因为直线MN和△ABC平面两者的正面投影有重影部分,所以它们的正面投影需要判别可见性。交点的正面投影是MN在V面投影中与△ABC重重影部分可见与不可见部分的分界点，因而交点总是可见的。直线与其他部分的可见性可任找一对重影点，如利用重影点Ⅰ、Ⅱ来判别。直线MN上的点Ⅰ的y坐标比△ABC平面上点Ⅱ的y坐标什大，故为可见，为不可见，所以画成粗实线，上被除数△ABC平面遮住的部分画成虚线，如图2—45b所示。也可用直观法从图上直接判别：根据△ABC平面和直线MN的水平投影位置的前后，直接判别出KN在前，全部可见，过了，MN与△ABC的V面投影的重影部分，就被△ABC平面遮信而为不可见，被遮部分应画成虚线。

    （二）投影面垂直线与一般位置平面相交

投影面垂直线与一般位置平面相交，交点的一个投影重合在直线有积聚性的同在投影上；而另一个投影是平面上过交点所作辅助线与直线的同面投影的交点。

[例2—10]  如图2—46a、b所示，求铅垂线DE与△ABC平面的交点K，并表明可见性。

  分析    由于铅垂线DE的水平线投影有积聚性，所以交点K的水平投影k必须积聚在d(e)上，其正面投影可用在△ABC平面内过K点作辅助线AF的方法求出。

作图步骤（如图2—46c所示）：

（1）连接a与（k），a(k)延长与bc交于f，再由f作出，连为所法语交点阵字库K的正面投影。

（2）判别和表明可见性：如图2—46d所示，因为直线DE和△ABC平面的正面投影有重影部分，所以对直线DE与△ABC的正面投影的得影部分要判别可见性。作出DE与△ABC的BC边在正面投影中的重影点Ⅰ、Ⅱ于水平投影中可见：直线DE上的点Ⅰ的y坐标什比△ABC的BC边上点Ⅱ的y坐标什大，故为可见，为不可见，所以画面粗实线，上被△ABC平面遮信在部分画成虚线。也可用直观法从图上直接判别，请读者自选分析。

    两平面相交，前锋线为直线，它是两平面的共有线。求两相交平面的前锋线，就是求两平面的共有线，也就是求任两个共有点的连线。

（一）一般位置平面与特殊位置平面相交，

    当相交两平面中有一个平面的投影有积聚性时，即可利用有积聚性的投影来确定前锋线的一个投影，前锋线的另一个投影可以接在另一平面上取点、取线的方法作出。

如图2—47b所示，铅垂面□EKGF的交点、。连接与，即为两平面的前锋线。由于铅垂面□EKGF的水平投影有积聚性，可先找出前锋线的水平投影，再求前交线的正面投影。最后，判别和表明重影部分的可见性。

作图步骤（如图2—47c所示）：

（1）利用铅垂面的水平投影有积聚性的特点，直接求得△ABC的AC边、BC边与铅垂面□EKGF的交点、的水平投影、。

（2）按线上取点的作图方法,求出交点、的正面投影、、，并连成。则（，）即为所求。

（3）判别和表明可见性：如图2—47c所示，交线是可见部分和不可见部分的分界线，对水平投影来说，因为□EKGF平面的水平投影有积聚性，所以它不可能将△ABC平面遮挡住，所以不需要斗志可见性。正面投影的可见性，可利用线、面相交判别可见性的方法来斗志，即在交线的任一侧找一对重影点，如点V、点Ⅳ，根据它们的y坐标的大小即可确定。点V在□EDGF平面的DE边上,点Ⅳ在△ABC平面的AB边上,又,所以△中的为可见部分,应画成粗实线, △ABC平面的另一侧在轮廓范围内的部分为不可见,应画成虎线.也可用直观法从图上直接判别,请读者自行判别.

(二)两特殊位置平面相交

    当相交两平面均为特殊位置平面时,则每个平面必有一个反败为胜 积聚性,即可确定交线的一个投影,而另一投影可以按面上取点、取线的方法作出。若相交两个平面同时垂直于一投影面出交线必为这个投影面的垂直线.

如图2—48a所示 , △ABC平面为水平面，△DEF平面为正垂面，求作它们的交线MN，并表明可见性。因为，这两个三角表均垂直于正面，交线MN必为正垂线，所以两三角形的有积聚性的同面投影和的交点即为交线MN的有积聚性的下面投影。求交线MN的作图过程仍如图2—48a所示。和交点处，作出交线MN的积聚投影，由引连线，在两个三角形的水平投影重合的范围内作出mn，就得到了交线MN的两面投影和mn。

由图2—48a中的下面投影还可看出：在交线左侧，△DEF平面高于△ABC平面，而右侧则相反。于于是就可判定两个三角形平面水平投影重合处的可见性。将相应的由双点画线表示的轮廓线分别画成粗实线和虎线，作图结果见图2—48b。