2 渐开线斜齿圆柱齿轮参数化建模
齿轮是一种通用的传动机构，有特殊的设计和加工技术，其加工精度对传动精度、机床稳定性等有重要影响，因此实现齿轮的精确建模是后续研究的重要保证。参数化建模是指用参数表达式来表示零件的尺寸关联和属性，工程技术人员可以通过修改零件的特定参数和属性，然后根据相关联的尺寸表达式的作用而引起整个模型的变化，从而可得到所需的零件[6]。本章主要论述了齿轮渐开线的形成原理和在Pro/Engineer（Pro/E）中实现渐开线斜齿圆柱齿轮实体建模的详细方法。在Pro/E 中，通过参数化建模的方法，生成齿轮的完整渐开线齿廓，采用特征操作方法生成了渐开线斜齿圆柱齿轮的三维实体模型。此种建模方法对其它类似零件的实体建模有重要的借鉴意义。
2.1 齿轮渐开线的生成原理
标准渐开线齿轮的齿廓部分形状如图2.1所示，由机械原理知识可知，当一直线BK沿一圆周作纯滚动时，直线上任意点K的轨迹AK就是该圆的渐开线，这个圆称为渐开线的基圆，半径为rb ，直线BK叫做渐开线的发生线；角θk 叫做渐开线AK段的展角，如图2.2所示。从而得到渐开线的极坐标方程为[7]：
（2-1）
rk=rb/cosα
θk=tanαk-αk
根据渐开线的生成原理，得到渐开线曲线的数学分析，得到如下的数学关系方程[8]：
（2-2）
x=rbsinu-rbucosu y=rbcosu+rbusinu
式中，rb 为渐开线的基圆半径；u=tan(αk )为渐开线上任一点K的滚动角；αk 为渐开线上K点的压力角。
图2.1 齿轮单齿端面轮廓
图2.2 渐开线生成原理
2.2 渐开线斜齿圆柱齿轮的参数化建模步骤
本文以无锡开源机床厂提供的XK2425-600型龙门镗铣床传动箱中的主动齿轮为例，介绍基于Pro/E的渐开线斜齿圆柱齿轮的参数化建模过程，齿轮的参数如表2.1所示，具体步骤如下：
表2.1 渐开线斜齿圆柱齿轮自变参数
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自变参数
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名
称
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端面模数
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齿数
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压力角
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螺旋角
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齿宽
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齿顶高系数
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顶隙系数
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变位系数
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代号
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mn
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z
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α
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β
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b
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ha
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c
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x
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斜齿轮
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4
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25
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20°
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15°
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60
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1
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0.25
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0
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(1) 创建新的零件文件。打开Pro/E，单击工具栏新建文件的按钮，选择零件模块，输入零件名称：helical_gear,点击OK。将坐标系PRT_CSYS_DEF及基准平面RIGHT、TOP、FRONT显示在画面上；
(2） 设置参数。点击“工具”下拉菜单中的“参数”，出现如图2.3所示的对话框，根据齿轮的参数进行设置；
图2.3 参数设置
(3） 作圆曲线。点击特征工具栏“草绘”按钮，选取FRONT面作为基准面，画四个圆，点击“工具”下拉菜单中的关系，输入如图2.4关系式，系统自动将关系式添入驱动，生成齿轮的基圆、齿根圆、分度圆和齿顶圆，如图2.5；
图2.4 齿轮各圆曲线关系式
图2.5 关系驱动生成的齿轮基圆、齿根圆、分度圆和齿顶圆
(4） 作齿廓线（渐开线）。点击特征工具栏“基准曲线”按钮，选取“从程”-“完成”-“选取坐标系”（选取系统坐标系PRT_CSYS_DEF）-“笛卡尔”，弹出如图2.6所示的文本编辑框，输入如图所示的关系式，点击文本编辑框的“文件”-“保存”，然后关闭，生成如图7所示的渐开线；
图2.6 渐开线方程式
（5） 作基准轴、基准点、基准面。点击“基准轴”按钮，按住“Control”键选取TOP和RIGHT基准面即可生成齿轮基准轴A_1。点击“基准点”按钮，按住“Control”键选取步骤4）生成的渐开线和齿轮分度圆，即可生成基准点PNT0。点击“基准面”按钮，按住“Control”选取基准轴A_1和基准点PNT0，即可生成基准面DTM1,如图2.7所示；
图2.7 渐开线
图2.8 创建基准轴、基准点和基准面
（6） 作齿廓的镜像基准面。点击“基准面”按钮，选取上步生成的基准面DTM1和基准轴A_1，在“旋转”选项中输入关系“360/（4*z）”，即生成基准面DTM2，如图2.8所示；
（7） 镜像生成单齿另一边的齿形线。先选取步骤4）生成的渐开线，再点击“镜像”按钮，选择基准面DTM2为镜像参考即可，如图2.9所示；
图2.9 镜像齿廓线
（8） 拉伸生成齿根圆柱坯体。点击“拉伸”按钮，依次点取“放置”-“定义”，选择FRONT面作为草绘面，拾取“从边创建图元”按钮，选择“环”，选取步骤3）生成的齿根圆，点击“确定√”，修改其长度尺寸为LONGTH,在关系文本框中添加关系：LONGTH=B;
（9） 草绘端面齿廓。点击“草绘”按钮，选取FRONT面作为基准面，拾取“从边创建图元”按钮，选择“环”，选取齿根圆曲线、两条渐开线及齿顶圆曲线，点击“圆角”按钮，绘制齿根过渡曲线，点击“草绘器约束”按钮，使两圆角半径相等，点击“修剪”按钮，将多余的线删除，点击“确定√”，修改半径尺寸为r，添加关系：r=0.38*mn，生成的齿廓如图2.10所示；
图2.10 齿轮端面齿廓
（10）进行特征操作生成另一端齿廓。选择菜单栏“编辑”-“特征操作”-“复制”-“移动”“独立”-选择上一步骤生成的齿廓-“平移”“平面”-选择FRONT基准面-“正向”，输入平移距离：B(即齿宽)，再选择“旋转”“坐标系”-选择系统坐标系-“z轴”-“反向”（该齿轮为左旋，若为右旋，则选“正向”，根据右手定则判定）-“正向”（即确定），旋转角度先不管，点击确定，修改旋转角度为theta，添加关系：theta=2*b*tan（beta）*180/（pi*d），结果如图2.11所示,旋转角度的原理图[9]如图2.12；
图2.11 齿廓的特征操作结果
图2.12 斜齿轮展开图
（11)作扫描轨迹。若将斜齿轮的分度圆柱面水平展开，则其螺旋线成为斜直线，斜直线与轴线之间的夹角即为分度圆柱上螺旋角β 。先“拉伸”操作生成分度圆柱面，修改拉伸尺寸，添加关系：longth1=b+10。再点击“草绘”按钮，选取RIGHT面为草绘平面，作一斜直线（注意齿轮旋向），点击“确定√”，修改角度尺寸，添加关系：angle=beta。最后点击菜单栏“编辑”-“投影”，将所作直线投影到分度圆柱面上；
(12）混合扫描生成单个轮齿。先选中上步骤生成的投影线，点击菜单栏“插入”-“混合扫描”，点选实体按钮，点击“剖面”，在剖面选项中选取“所选截面”，先选取扫描路径上箭头所在的一端齿廓，点击“插入”，选取另一端齿廓，点击“确定√”，生成如图2.13所示的轮齿；
图2.13 混合扫描生成一个轮齿
(13）阵列生成所有轮齿。先选中上步生成的轮齿，点击“阵列”按钮，阵列方式选“轴”，输入阵列个数和角度，点击“确定√”；
（14）生成轴孔。点击“拉伸”按钮，选取FRONGT为草绘面，绘制如图2.14所示草图，点击确定，最后生成完整的斜齿轮模型如图2.15所示。
图2.14 轴孔截面图
图2.15 完整的齿轮实体模型
2.3 小结
基于Pro/E的参数化建模，用户可以定义各参数之间的相互关系，使得特征之间存在依存关系。当修改某一单独特征的参数值时，会同时牵动其它与之存在依存关系的特征进行变更，以保持整体的设计意图。因此在同类零件的设计中，使用参数化造型方法，通过修改零件的特定参数和属性,然后根据相关联的尺寸表达式的作用而引起整个模型的变化,即可得到所需零件，从而为工程人员节省大量时间。
