自动控制理论_3.8 控制系统的稳定性

3.8 控制系统的稳定性

3.8  控制系统的稳定性

    稳定性是控制系统最重要的特性之一。它表示了控制系统承受各种扰动，保持其预定工作状态的能力。不稳定的系统是无用的系统，只有稳定的系统才有可能获得实际应用。我们前几节讨论的控制系统动态特性，稳态特性分析计算方法，都是以系统稳定为前提的。
3.8.1  稳定性的定义
    图3.26（a）是一个单摆的例子。在静止状态下，小球处于A位置。若用外力使小球偏离A而到达A’，就产生了位置偏差。考察外力去除后小球的运动，我们会发现，小球从初始偏差位置A'，经过若干次摆动后，最终回到A点，恢复到静止状态。图3.26（b）是处于山顶的一个足球。足球在静止状态下处于B位置。如果我们用外力使足球偏离B位置，根据常识我们都知道，足球不可能再自动回到B位置。对于单摆，我们说A位置是小球的稳定位置，而对于足球来说，B则是不稳定的位置。

（a）稳定位置；(b)不稳定位置

    处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态，产生初始偏差。稳定性是指扰动消失后，控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。若能恢复到原平衡状态，我们说系统是稳定的。若偏离平衡状态的偏差越来越大，系统就是不稳定的。
    在控制理论中，普遍采用了李雅普诺夫（Liapunov）提出的稳定性定义，内容如下：
设描述系统的状态方程为

             (3.131)

式中x(t)为n维状态向量，f(x(t),t)是n维向量，它是各状态变量和时间t的函数。如果系统的某一状态,对所有时间t，都满足

             (3.132)

则称为系统的平衡状态。是n维向量。当扰动使系统的平衡状态受到破坏时，系统就会偏离平衡状态，在时，产生初始状态=x。在时，如果对于任一实数，都存在另一实数，使得下列不等式成立

       (3.133)

        (3.134)

则称系统的平衡状态为稳定的。
式中称为欧几里德范数，定义为：

      (3.135)

矢量的范数是n维空间长度概念的一般表示方法。
这个定义说明，在系统状态偏离平衡状态，产生初始状态以后，即以后，系统的状态将会随时间变化。对于给定的无论多么小的的球域S()，总存在另一个的球域，只要初始状态不超出球域，则系统的状态的运动轨迹在后始终在球域S()内，系统称为稳定系统。
当t无限增长，如果满足：

        (3.136)

即系统状态最终回到了原来的平衡状态，我们称这样的系统是渐近稳定的。
对于任意给定的正数，如果不存在另一个正数，即在球域内的初始状态，在后，的轨迹最终超越了球域S()，我们称这种系统是不稳定的。
图3.27是二阶系统关于李雅普诺夫稳定性定义的几何说明。

（a）稳定；(b)渐近稳定；(c)不稳定

    图3.27（a)说明只要初始状态在的圆内变化，则系统的状态就不超出S()的圆域。这种情况定义为系统是稳定的。是给定的状态的偏差范围。或者说明=Ax解的偏差范围，而则是根据所确定的容许的初始状态的偏差范围。如果可以选得任意大，我们称这样的系统为大范围稳定。
图3.26（b)说明，只要初始状态在的圆内变化，则随时间的增大，系统的状态最终会回到原点（即原来的平衡状态）。这种情况定义为系统是渐近稳定的。由图可见，渐近稳定情况下，，即稳定的条件更严格一些。或者说渐近稳定具有比稳定更强的特性，工程上要求控制系统稳定是指要求系统具有渐近稳定性。
图3.26（c)是不稳定情况。x(t)的轨迹离开了圆S()。

3.8.2  线性定常系统的稳定性
稳定性表明了控制系统在所受扰动消失后，自由运动的性质。线性定常系统的稳定性是系统的固有特性，与输入变量无关。我们只要讨论齐次方程的解即可。
在控制工程中，只有李雅普诺夫稳定性定义下的渐近稳定的系统才能工作。所以，我们以下讨论的控制系统的稳定性都是指渐近稳定的系统。不是渐近稳定的系统都视为不稳定系统。
线性定常系统的状态方程

          (3.137)

式中A为n*n方阵。设系统原来的平衡状态为，在扰动产生了初始状态以后，系统的状态x(t)将从开始按下列规律转移：

          (3.138)

如果对于任意初始状态，由它引起的系统的运动满足

         (3.139)

那么，线性定常系统就是稳定的（李雅普诺夫定义下的渐近稳定）。
线性定常系统稳定的充分必要条件是其系数矩阵A的特征值全都具有负实部。
一个n*n矩阵的特征值就是方程

         (3.140)

的根。这个方程称为矩阵A的特征方程。
如果描述控制系统特性的是输入——输出微分方程，则对应的齐次方程的解可表示为

        (3.141)

而系统的传递函数则具有以下形式

    (3.142)

若方程的解在时间趋于无穷大时也趋于零，即

   (3.143)

    这说明系统在扰动消除后具有恢复到原平衡状态的能力。而满足式（3.143）的条件则是（3.142）式表示的系统的传递函数的闭环极点或特征方程的根具有负实部。如果特征方程的根有为零的根，则对应的项就会出现常数或等幅振荡，若特征方程的根有正实部的根，则对应的项随时间增大将越来越大。所以，线性定常系统稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环特征方程的所有根都具有负实部。如果按照闭环极点在S平面上的分布来讨论稳定性，则线性定常系统稳定的充分必要条件是系统的闭环极点都位于S平面的左半边。
    对于单输入单输出的线性定常系统按系统状态方程和按输入——输出微分方程（或传递函数）得出的控制系统稳定的充分必要条件之间有什么关系呢？由于状态变量的选取不同，描述同一系统的状态方程可以有无穷多种，这叫状态变量的非唯一性。这些状态方程之间存在线性变换的关系。而这所有状态方程的系数矩阵A的特征值，则始终不变，这叫特征值的不变性。状态方程系数矩阵的特征值，就是相应的输入——输出微分方程（或传递函数）的特征方程的特征根。所以，控制系统稳定的充分必要条件的表述是一致的。
例10  描述控制系统的微分方程为

式中y(t)为输出变量，u(t)为输入变量。求该系统的特征根。
解  系统的传递函数为

其特征方程为

特征方程的根为

若把微分方程转换为状态变量表达式，则有

系数矩阵A为

其特征方程为

而矩阵

矩阵A的特征值为

上述状态空间表达式经线性变换，还可以变为如下的形式

而

所以

特征值为

这说明对于同一个线性定常系统，其特征值是唯一的。通过以上计算，系统的特征方程的3个根均为负实数，所以这个系统是稳定的。

3.8.3  劳斯判据
按照线性定常系统稳定的充分必要条件判断系统是否稳定，必须求解特征方程。对于阶数较高的系统，求解特征方程并不容易。所以用系统稳定的充分必要条件直接判断系统是否稳定的方法并不实用。劳斯判据则不必直接求解特征方程，而是根据特征方程的系数，进行一些简单的代数运算，即可知道系统是否稳定，而且还可以知道系统有几个位于S平面右半边的闭环极点（即不稳定根）。
1.  劳斯判据
设线性定常系统的特征方程为：

         (3.144)

式中是方程的系数，均为实常数。
若特征方程缺项（有等于零的系数）或系数间不同号（有为负值的系数），特征方程的根就不可能都具有负实部，系统必然不稳定。所以，线性定常系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数。满足必要条件的系统并不一定稳定。劳斯判据则可以用来进一步判断系统是否稳定。
在应用劳斯判据时，必须计算劳斯表。表3.3给出了劳斯表的计算方法。劳斯表中的前二行是根据系统特征方程的系数隔项排列的。从第三行开始，表中的各元素则必须根据上两行元素的值计算求出。读者不难从表中找出计算的方法和规律。

表３．３ 劳斯表

    劳斯判据的内容为：当（3.144）式表示的系统的特征方程，且劳斯判据第一列的所有元素都大于零时，该线性定常系统是稳定的。这是用劳斯判据表示的线性定常系统稳定的充分必要条件。
若劳斯表中第一列元素的符号正负交替，则系统不稳定。正负号变换的次数就是位于s平面右半边的闭环极点的个数。
例11  已知控制系统的特征方程如下

判断系统是否稳定。
解  劳斯表

               1     8     20

               5     16     0

               4.8   20

               -4.83  0

               20

劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，说明系统不稳定且有二个特征根位于s平面右半边。
例12  判断三阶系统稳定的条件。三阶系统的特征方程为

式中均大于零。
解  劳斯表

                          

                          

                      0

                   

根据劳斯判据，当满足

系统稳定。
例13  某控制系统的特征方程是：

试确定K的稳定范围。
解  劳斯表

                               0.025      1

                               0.35       

                             

                     

若要系统稳定，则必须

由此可得出K的稳定范围为

2.劳斯判据的特殊情况
   在应用劳斯判据判断系统是否稳定时，会遇到两种特殊情况；一种是劳斯表中第一列元素出现零值，而该行其它元素则不全是零；另一种是劳斯表中某行元素全都为零。若遇到这种情况，劳斯表就无法计算下去。下面，我们通过一些例子说明如何处理。
例14  已知控制系统的特征方程

判断系统是否稳定。
解  劳斯表

                       1        2        1

                       2        4        1

                       0              

                            1

                       

                       1

   本例中，劳斯表第三行第一列元素为零，若继续计算，第四行的元素将为无穷大。我们可以用一个很小的正数代替第三行的零元素，继续计算下去。很显然

    劳斯表第一列元素的符号改变了两次，系统不稳定且有两个实部为正的不稳定特征根。
    在这种情况下，若第一列元素全部为正，说明系统特征根有纯虚根，既有闭环极点分布在s平面的虚轴上。s平面的虚轴把s平面分为两个半边，系统闭环极点若全部分布在s平面左半边，系统一定稳定。所以s平面左半边是稳定区。只要系统有闭环极点分布在s平面右半边，系统就一定不稳定。所以s平面右半边是不稳定区。闭环极点若分布在虚轴上，我们称其为稳定的临界情况。因为这类闭环极点对应的系统齐次方程的解是等幅振荡或常量。在李雅普诺夫稳定性定义下，这种情况是稳定的，但不是渐近稳定。但在实际的控制工程中，这样的系统是不能工作的。所以我们把临界情况视为不稳定。在控制工程中，系统稳定或不稳定与李雅普诺夫稳定性定义中的稳定是有差别的。
例15  系统的特征方程为

讨论系统稳定的情况。
解  从特征方程上看，此系统不满足线性定常系统稳定的必要条件：，可以得出结论，系统不稳定。但是为了获取系统在稳定性方面更多的信息，我们仍然使用劳斯判据。
劳斯表

                      1        -2        -7        -4

                      1        -3        -4         0

                      1        -3        -4   

                      0      0      0   

                      -1.5     -4

                      -16.7

                      -4

    劳斯表在第四行出现了全零的行。在这种情况下，我们可以取全为零的行上一行的元素构成一个辅助方程

对辅助方程求导

    用辅助方程求导后得到的方程的系数取代全为零行中的对应零元素，再继续劳斯表的计算。本例中劳斯表第一列元素改变了一次符号，所以系统特征方程有一个根在s平面右半边。
出现某行元素全为零的情况，说明系统存在对称于s平面原点的特征根。求解辅助方程，可以得到这些根

    劳斯判据是一种代数判据，它给出的是系统绝对稳定性的信息。如果系统稳定，稳定的程度如何。如果系统不稳定，应怎样改变系统结构和参数使其稳定。面对这些问题，应用劳斯判据则难以解决。