机械制图教程—3-3直线的投影变换

    直线的投影变换，有下述三种情况。

    因为与一般位置直线相平行的平面可以为一般位置平面或投影面垂直面，而处于投影面垂直面位置的平面可作为新投影面与被保留的旧投影面相垂直，构成新的两投影面体系，所以将一般位置直线变换为投影面平行线只需一次换面。其牡丹通常为求一般位置直线的实长、其对投影面的倾角及方便求解度量和定位问题。

如图3-6所示，将一般直线变换为V面的平行线，为了使AB在H/ V体系中成为V面的平行线，可以用一个既垂直于H面，又平行于AB的V面替换V面，通过一次变换即可达到目的，按照V面平行线的投影特性，在H/ V体系中新投影轴X应平行于所保留的投影b a。

作图步骤（如图3-6b所示）：

（1）在适当位置作X∥a b（设置的新投影轴，应使几何元素在新投影体系中的两个投影分别位于新投影轴的两侧；新投影轴距离直线被保留的投影之间距离可任取）。

（2）按投影变换的基本作图法，分别求出线段AB 两端点的新投影b′和a′，连b′与a′，a′ b′即为所求AB的V面投影。

将一般位置直线变换为V面的平行线，其作图结果为：直线AB 在V面上的投影a′ b′反映其实长，且a′ b′与X轴的夹角等于直线AB对H面的真实倾角α。

同理可将一般位置直线变换为H面的平行线。通过一次换面，即可求得该直线实长和对V面的真实倾角β。

由此可知：通过一次换面，可以将一般位置直线变换为新投影面的平行线。欲使新投影面平行于已知一般位置直线，则新投影轴应平行于该直线所保留的投影。作图的关键是在空间确定新投影面的位置。而在投影图上则是确定新投影轴的位置。

 

    因为与投影面平行线相垂直的平面一定垂直于它所平行的那个投影面，因此，这样的位置平面就可作为新投影面，与所垂直的被保留的投影面构成新的两投影面体系，故将投影面平行线变换为投影面垂直线只需一次换面。其目的通常是为了方便求解某些度量和定位问题。

如图3-7所示，将正平线变换为H面的垂直线。因为在V/H体系中，垂直于正平线AB的平面也必垂直与V面，于是可用垂直于AB的正垂面为H面来替换H面，使AB成为新体系V/H中的H面垂直线。按照H面垂直线的投影特性，在V/H中新投影轴X应垂直与被保留的反映实长的投影a′b′，直线AB在H面上的投影a b必积聚为一点。

作图步骤（如图3-7b所示）：

（1）在适当位置作X⊥a′b′。

（2）按投影变换的基本作图法求得端点B和A的新投影b和a必重合为一点，则a b即为AB所求的H面投影。

同理，也可通过一次换面将水平线变换为V面的垂直线。

由此可知：通过一次换面，可以将投影面平行线变换为投影面垂直线，欲使新投影面垂直于已知的投影面平行线，则新投影轴应垂直于该直线所保留的反映实长的投影。

 

    若选新投影面直接垂直于一般位置直线，则新投影面必定是一般位置平面，而它和原体系中的任一投影面都不垂直，不能构成新的两投影面体系。所以欲使一般位置直线变换为投影面垂直线，只经一次换面是不行的。

    由上述第一种基本情况和第二种基本情况可知，将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须经两次换面，先将直线变换为投影面平行线，再将投影面平行线变换为投影面垂直线。

图3-8a、b为一般位置直线经两次换面，变换为投影面垂直线的直观图和投影图。

作图步骤（如图3-8b所示）：

（1）先将AB变换为V面的平行线   作法与图3-6b相同，即作X∥a b，将V/H中的a′b′变换为V/H中的a′ b′。a′ b′即为AB的V面投影。

（2）再将AB变换为H面的垂直线   作法与图3-7b相同，即作X⊥a′ b′，将V/H中的a b变换为V/H中的b (a)，b (a)积聚为一点，即为AB的H面的投影。于是V/H中的一般位置直线AB就变换为V/H中的H面垂直线。

同理，也可先将直线AB变换为H面平行线，再将AB变换为V面的垂直线。

例3-1]  如图3-9所示，求点C到直线AB的距离。 

分析  点到直线的距离，即为过点作直线的垂线，求出垂足，点与垂足间的这段垂线的实长。作点C到直线AB的垂线CK，当直线AB为某一投影面的平行线时，则AB与CK在该投影面上的投影反映垂直（正交），但此时的垂线CK仍为一般位置直线，不反映实长。而当直线AB为投影面的垂线时，CK为该投影面的平行线，点C到直线的距离CK在直线AB所垂直的投影面上的投影c′（k′）才是实长的真实反映。故此题求点至一般位置直线的距离，须经两次换面，将一般位置直线AB变换为投影面垂直线，点C随之变换，既可解决，此时，在第二换面的新投影面上，直线AB的积聚投影（点）与点C的同面投影之间的距离，既为所求的点C到直线AB的距离。图3-9a只示出了第二次换面时的空间分析。

作图步骤（如图3-9b所示）：

（1）先将直线AB变换为H面的平行线，AB在H面上的投影为ab；点C也随之变换，在H面上的投影为c。

（2）再将直线AB变换为V面的垂直线，AB在V面上的投影积聚为一点a′（b′）；点C在V面上的投影为c′。c作ck⊥ab，即ck∥X轴得k，k′

（3）在V/ H中，按一边平行投影面的直角投影定理，过与a′（b′）重影，连接c′、k′，c′k′即反映点C到直线AB的距离。

如要求出CK在V/H体系中的投影c′k′和ck，可根据c′k′、ck返回作出。