2.3 点、直线、平面的投影
在前面已研究了物体与视图之间的对应关系，但为了迅速而准确地表达空间形体，就必须进一步研究构成形体的最基本的几何元素（点、线、面）的投影规律。
2.3.1 点的投影
2.3.1.1 点的三面投影
如图2-7所示，由空间点A分别作垂直于H、V和W的投射线，其垂足a、a′ 、a″即为点A在H面、V面和W面上的投影。本书规定，空间点用大写字母如A、B表示，水平投影用相应的小写字母表示，正面投影用相应小写字母加一撇表示，侧面投影用相应小写字母加两撇表示。a称为点A的水平投影；a′ 称为点A的正面投影；a″ 称为点A的侧面投影。
2.3.1.2 点的投影规律
从图2-7中可以看出空间点A在三投影面体系中有唯一确定的一组投影（a，a′，a″ ），反之如已知点A的三面投影即可确定点A的坐标值，也就确定了其空间位置。因此可以得出点的
图2-7 点的三面投影
投影规律：
（1）点的V面与H面的投影连线垂直于OX轴，即a′ a⊥OX。
这两个投影都反映空间点到W面的距离即X坐标：a′aZ=aaYH=XA 。
（2）点的V面与W面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
这两个投影都反映空间点到H面的距离即Z坐标：a′aX=a″aYW=ZA 。
（3）点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离。
这两个投影都反映空间点到V面的距离即Y坐标：aaX=a″aZ=YA 。
实际上，上述点的投影规律也体现了三视图的“长对正、高平齐、宽相等”。
作图时，为了表示aaX=a″ aZ的关系，常用过原点O的45°辅助线把点的H面与W面投影关系联系起来，如图2-7(c)所示。
点的三个坐标值（x，y，z）分别反映了点到W、V、H面之间的距离。根据点的投影规律，可由点的坐标画出三面投影，也可根据点的两个投影作出第三投影。
例2.1 已知点A的两面投影和点B的坐标为（25，20，30），求点A的第三面投影及点B的三面投影（见图2-8(a)）。
解（1）求A点的侧面投影
先过原点O作45°辅助线。过a作∥OX轴的直线与45°辅助线相交于一点，过交点作⊥OYW的直线，该直线与过a′平行于OX轴的直线相交于一点即为所求侧面投影a″。
（2）求B点的三面投影
图2-8 求作点的投影
在OX轴取ObX =25 mm，得点bX,过bX作OX轴的垂线，取b′bX=30 mm，得点b′，取bbX=20 mm，得点b；同求A点的侧面投影一样，可求得点B的侧面投影b″。答案见图2-8（b）。
2.3.1.3 重影点及两点的相对位置
若空间两点的某一投影重合在一起，则这两点称为对该投影面的重影点。如图2-9所示，在三棱柱上两点A、C为H面的重影点。重影点的可见性由两点的相对位置判别，对V面、H面和W面的重影点分别为前遮后、上遮下、左遮右，不可见点的投影字母加括号表示。
图2-9 重影点及两点相对位置
空间点的相对位置，可以在三面投影中直接反映出来，如图2-9（b）所示，在三棱柱上的两点A、B，在V面上反映两点上下、左右关系，H面上反映两点左右、前后关系，W面上反映两点上下、前后关系。
2.3.2 直线的投影
2.3.2.1 一般位置直线及直线上点的投影
直线的投影一般仍为直线。由几何学知道，空间两点决定一直线，因此要作直线的投影，只需作出直线段上两点的投影（两点在同一投影
面上的投影称为同面投影），如图2-10所示。
图2-10 直线及直线上点的投影
一般位置直线对三个投影面都倾斜，其三面投影仍为直线。直线对H、V、W面的倾角用α、β、γ来表示，则ab=ABcosα＜AB，a′b′＝ABcosβ＜AB,a″b″＝ABcos γ＜AB。
点在直线上，由正投影的基本性质可知，应有下列投影特性：
（1）点的投影必在直线的同面投影上（从属性）。如图2-10所示，在直线AB上有一点M，点M的三面投影m、m′、m″分别在直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。
（2）点分线段之比等于其投影之比（定比性）。如图2-10，点M分AB成AM和BM，有AM∶BM=am∶bm=a′m′∶b′m′=a″m″∶b″m″。
图2-11 求直线上点的投影
例2.2 如图2-11（a）所示，已知点C分 AB为AC∶BC=3∶2，求点C的投影。
解 分析：根据直线上点的投影特性，可将AB的任一投影分成3∶2，求得点C的一个投影，利用从属性，求出点C的另一投影。作图步骤如下（见图2-11（b））：
(1) 过a作任意直线，并截取5 个单位长度，并连接线5b；
(2) 过3作5b的平行线，交ab 于c；
(3) 由c作投影连线，交a′ b′ 于点c′。
2.3.2.2 特殊位置直线的投影特性
投影平行线 正平线：∥V，∠H、W
(仅平行于某个投影面) 水平线：∥H，∠V、W
特殊位置直线 侧平线：∥W，∠V、H
投影面垂直线 正垂线：⊥V,∥H、W
（垂直于某个投影面） 铅垂线：⊥H，∥V、W
侧垂线：⊥W，∥V、H
（1) 投影面平行线的投影投影面平行线的投影特性（正平线、水平线、侧平线）见表2-3。
表2-3 投影面平行线的投影
名称
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立 体 图
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投 影 图
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投 影 特 性
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正
平
线
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（1）a′ b′ 反映实长和真实倾角α、γ；
（2）ab∥OX，a″b″∥OZ，长度缩短
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水
平
线
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（1）ab反映实长和真实倾角β、γ；
（2）a′ b′ ∥OX，a″b″∥OYW，长度缩短
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侧
平
线
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（1）a″b″反映实长和真实倾角α、β；
（2）a′b′∥OZ，ab∥OYH，长度缩短
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投影面平行线的投影特性：
（1） 直线在与其平行的投影面上的投影，反映该线段的实长及该直线与其他两个投影面的倾角；
（2） 直线在其他两个投影面的投影分别平行于相应的投影轴。
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（2） 投影面垂直线的投影投影面垂直线的投影特性（正垂线、铅垂线、侧垂线）见表2-4。
表2-4 投影面垂直线的投影
名称
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立 体 图
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投 影 图
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投 影 特 性
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正
垂
线
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（1）a′b′积聚成一点；
（2）ab⊥OX，a″b″⊥OZ，且反映实长，即ab=a″b″=AB
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铅
垂
线
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（1）ab积聚成一点；
（2）a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW，且反映实长，即a′b′=a″b″=AB
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侧
垂
线
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|
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（1）a″b″积聚成一点；
（2）a′b′⊥OZ，ab⊥OYH，且反映实长，即ab=a′b′=AB
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投影面垂直线的投影特性：
（1） 直线在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点；
（2） 直线在其他两个投影面的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长
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（3) 直角三角形法求直线实长及对投影面的倾角 特殊位置的直线至少有一个投影反映实长并反映直线对投影面的倾角。
一般位置直线的三面投影均不反映实长及倾角的真实大小，能否根据直线的投影求其实长及倾角的真实大小呢？实际应用中，可用直角三角形法求得。如图2-12所示，AB为一般位置的直线，过A作AB0∥ab，则得一直角△ABB0，在直角△ABB0中，两直角边的长度为BB0=Bb-Aa=ZB-ZA=ΔZ，AB0=ab，∠BAB0=α。
可见只要知道直线的投影长度ab和对该投影面的坐标差ΔZ，就可求出AB的实长及倾角α，作图过程如图2-12(b)所示。
图2-12 直角三角形法求实长及倾角
同理利用直线的V面投影和对该投影面的坐标差，可求得直线对V面的倾角β和实长，如图2-12(c)所示。
同样可以求出直线对W面的倾角γ，请读者自己分析。
图2-13 求C点的投影
