例2.3 如图2-13(a)所示，求直线AB的实长及对H面的倾角α。并在直线AB上取一点C，使线段AC=10 mm 。
解 分析：先求出AB的实长及对H面的倾角α，再在AB实长上截取AC0=10 mm得C0点，然后将C0点返回到AB的投影ab上,求得C点的投影。作图过程如图2-13(b)所示：
（1）过b作ab的垂线，取B0b=ZB-ZA得直角△。aB0、
夹角α即为所求实长与倾角。
（2）在AB的实长aB0上，截取aC0=10 mm，得点C0。
（3）再作C0c∥B0b得点C的水平投影c，作投影连线得点C的正面投影c′。
2.3.2.3 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有相交、平行和交叉三种情况。交叉两直线不在同一平面上，所以称为异面直线。相交两直线和平行两直线在同一平面上，所以又称它们为共面直线。
两直线的相对位置投影特性见表2-5。根据投影图可判断两直线的相对位置。
如两直线处于一般位置，一般由两面投影即可判断，若直线处于特殊位置，则需要利用三面投影或定比性等方法判断。
表2-5 两直线的相对位置投影特性
名称
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立 体 图
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投 影 图
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投 影 特 性
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平
行
两
直
线
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平行两直线的同面投影分别相互平行,且具有定比性
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相
交
两
直
线
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相交两直线的同面投影分别相交，且交点符合点的投影规律
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交
叉
两
直
线
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既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性
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2.3.2.4 直角投影定理
定理：相互垂直的两直线，若其中一直线为某投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影反映直角。
图2-14一边平行于投影面的直角投影
已知：AB⊥BC、BC∥H面。如图2-14（a）。
证明：因BC∥H面，而Bb⊥H面，故BC⊥Bb，所以BC⊥平面BbaA，又因bc∥BC，故bc⊥平面BbaA。所以bc⊥ab，即∠abc=90°，见投影图2-14（b）所示。
该定理的逆定理同样成立。
直角投影定理常被用来求解有关距离问题。
例2.4 如图2-15（a）所示，求点C到直线AB距离CD的实长。
2.15 求点到直线的距离
解 分析：求点到直线的距离，即从点向直线作垂线，求垂足。因AB是正平线，根据直角投影定理，从点C向AB所作垂线，其正面投影必相互垂直。
作图步骤如下（见图2-15（b））：
（1）过c′作a′b′的垂线得垂足投影d′。
（2）根据点D在直线AB上，求出d。
（3）连cd、c′d′即为距离的两面投影，利用直角三角形法求出CD实长。
2.3.3 平面的投影
2.3.3.1 平面的表示法与一般位置平面图
空间平面可用下列任意一组几何元素来表示（如图2-16所示）：
(1) 不在同一直线上的三点（见图2-16（a））；
(2) 一直线和直线外一点（见图2-16(b)）；
(3) 相交两直线（见图2-16(c)）；
(4) 平行两直线（见图2-16(d)）；
(5) 任意平面图形（见图2-16(e)）。
图2-16 平面的表示法
一般位置平面的投影如图2-17所示，由于△ABC对V、H、W面都倾斜，因此其三面投影都是三角形，为原平面图形的类似形，且面积比原图形小。
平面对H、V、W面的倾角，分别用α、β、γ来表示。
图2-17 一般位置平面的投影
2.3.3.2特殊位置平面的投影特性
特殊位置平面分为投影面垂直面和投影面平行面两类。
正垂面：⊥V，∠H、W
投影面垂直面 铅垂面：⊥H，∠V、W
特殊位置平面 （仅垂直于一个投面） 侧垂面：⊥W，∠V、H
正平面：∥V，⊥H、W
投影面平行面 水平面：∥H，⊥V、W
（平行于一个投影面） 侧平面：∥W，⊥V、H
(1) 投影面垂直面的投影
投影面垂直面的投影特性见表2-6。
表2-6 投影面垂直面的投影
名称
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立 体 图
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投 影 图
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投 影 特 性
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铅
垂
面
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（1）水平投影积聚成一直线，并反映真实倾角β、γ;
(2)正面投影和侧面投影仍为平面图形，但面积缩小
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正
垂
面
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|
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(1)正面投影积聚成一直线，并反映真实倾角α、γ;
(2)水平投影和侧面投影仍为平面图形，但面积缩小
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侧
垂
面
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|
|
(1)侧面投影积聚成一直线，并反映真实倾角α、β;
(2)正面投影和水平投影仍为平面图形，但面积缩小
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投影面垂直面的投影特性：
（1） 平面在与其垂直的投影面上的投影积聚成一直线，并反映该平面对其他两个投影面的倾角；
（2） 平面在其他两个投影面的投影都是面积小于原平面图形的类似形
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(2) 投影面平行面的投影 投影面平行面的投影特性见表2-7。
表2-7 投影面平行面的投影
名称
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立 体 图
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投 影 图
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投 影 特 性
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正
平
面
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(1)正面投影反映实形;
(2)水平投影∥OX、侧面投影∥OZ，并分别积聚成一直线
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水
平
面
|
|
|
(1)水平投影反映实形;
(2)正面投影∥OX、侧面投影∥OYW，并分别积聚成一直线
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侧
平
面
|
|
|
(1)侧面投影反映实形;
(2)正面投影∥OZ、水平投影∥OYH，并分别积聚成一直线
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投影面平行面的投影特性：
（1）平面在与其平行的投影面上的投影反映平面实形；
（2）平面在其他两个投影面的投影都积聚成平行于相应投影轴的直线
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2.3.3.3 平面内的点和直线
(1) 平面内取点和直线 点属于平面的几何条件是：点必需在平面内的一条直线上。因此要在平面内取点，必须过点在平面内取一条已知直线。如图2-18在△ABC所确定的平面内取一点N，点N取在已知直线AB上，即在a′b′上取n′,在ab上求取n，因此点N必在该平面内。
图2-18 平面内取点 图2-19 平面内取直线
直线属于平面的几何条件是：该直线必通过此平面内的两个点或通过该平面内一点且平行于该平面内的另一已知直线。
依此条件，可在平面内取直线，如图2-19(a)在DE和EF相交直线所确定的平面内取两点M和N，直线MN必在该平面内。图2-19(b)为过M作直线MN∥EF，则直线MN必在该平面内。
在平面内取点和直线是密切相关的，取点要先取直线，而取直线又离不开取点。
例2.5 如图2-20(a)所示，判断点K是否属于△ABC所确定的平面。
解 根据点在平面内的条件，假如点在平面内，则必属于平面内的一条直线上。判断方法是：过点K的一个投影在△ABC作一直线AK交BC于D，再判断点K是否在直线AD上。
作图过程如下（见图2-20(b)）：连a′、k′交b′c′于d′，过d′作投影连线得d，即求得AD的水平投影 ad。而点K的水平投影k不在ad上，故K点不属于平面△ABC。
图2-20 判断点属于平面 图2-21 平面内投影面平行线
(2) 平面内的投影面平行线 既在给定平面内，又平行于投影面的直线，称为该平面内的投影面平行线。它们既具有投影面平行线的投影特性，又符合直线在平面内的条件。在图2-21中，AD在△ABC内，ad∥OX轴即AD∥V面，故AD为△ABC平面内的正平线。同理，AB为该平面内的水平线。
例2.6 如图2-22所示，在平面ABCD内求点K，使其距V面为15 mm、距H面为12 mm。
解 （1）分析：在平面ABCD内求点K距V面15 mm，则点一定在距V面15 mm的正平线上。同理，又因点距H面为12 mm，则点一定在距H面为12 mm的水平线上。平面上的正平线与水平线的交点即为所求K。
（2）作图步骤如下(见图2-22所示)：先作正平线MN的水平投影mn∥OX，且距OX轴为15 mm，并作出MN的正面投影m′n′ 。
同理，作水平线PQ的正面投影p′ q′∥OX，且距OX轴为12 mm。
m′n′与p′ q′的交点即为K点的正面投影k′，作投影连线交mn于k，
即点K（k，k′）即为所求。
图2-22 投影面平行线的应用
