摘要
本篇文章是采用一种新推出的方法来对提高板材的成形效率进行分析,这种方法就是坐标网分析法。这种方法就是研究扭曲单体，即通过适当的研究规范，建立补片，包括修正后的单体。每一片都被扩展到一个三维的表面从而获得一个连续坐标的信息。在构造表面时，应包括每一个片，NURBS(非均匀有理B样条)表面被用来描述一个三维自由表面。以被构造表面为基础，每一个节点一般被安排成一个非常接近正方形的单体元素。计算状态函数是从它原始的网格系统映射到新的网格之内，从而对成形进行下一阶段的分析或更进一步的分析。按网格方法的分析结果与没有坐标网方法直接成行的分析结果相比较来确定哪一种方法是更有效的。
关键词：坐标网；变形单体；NURBS；有限元分析
1. 概述
随着计算机技术和数字技术的结合和快速发展，用数字模拟进行板材成形加工达到空前的繁荣。数字分析对复杂几何图形的板材成形和多级成形都可以做到。对于一个复杂的几何模型来说，尽管局部严重变形将会导致计算时间的增加和数据分析的减少。从而使分析结果更加不准确。几何网格的扭曲和严重变形对板材成形的质量有很大影响,特别是对于多级成形。当上一级成形的分析结果用于下一级成形分析时，几何网格的扭曲和变形对分析结果影响更大。这种被扭曲网格的错误表象可以通过整体的或自适应重啮合技术的网格系统的重建来避免。在模拟期间，减少单体扭曲，自适应重啮合技术被认为是一种有效的方法。但是，它仍然需要大量的计算，并且在单体的细分中也受到限制。
要构造一个网格系统的有效方法已经被许多研究人员提上日程。典型的方法可能是下面几种：r-方法，h-方法，p-方法。r-方法就是在网格系统的总的自由度不变的情况下，节点被完全重排；h-方法就是在元素单体具有相同的自由度的情况下让网格的数目增加；p-方法就是通过网格系统的整体自由度的增加来提高分析的准确性。Sluiter 和Hansen[文献4]和Talbert 和 Parkinson[文献5]构造了一个晶格分析范围，它像一个连续的环，而且是从主要环中分离出的子环元素。Lo[文献6]在整个晶格范围内构造了一个三角形元，并且通过合并邻近的三角形元而构造矩形元素。
本篇文章中的坐标网方法是一种新推出的方法,它旨在用有限元分析提高板材成形效率。坐标网法根据一些规范可以自动地找出变形单体，并对这些片进行修正。然后，每一片都被扩展到一个三维表面用来获得在三维表面的连续坐标系的信息。这个包含了每一片的表面用来作为使用了NURBS的三维自由表面来描述。以被构造表面为基础，每一个节点都被彻底改变，用来组成一个正方形的规则单体。状态函数的计算是从它原始几何网格映射到新的网格之内，从而进行下一阶段的成形分析。从得到的数据结果中证实使用坐标网方法的效率和结果的准确性。这也证实了此种方法在板材构件碰撞分析的成形模拟中的有效性。
2. 体的规则化
之所以要介绍对变形体的修正使之成为一个规则化过程，是为了提高变形体在下一个有限元计算中的分析效率。在规则化过程中，变形体根据适当的搜索规范有选择的分配到各片。这些片通过分析NURBS在连续坐标系的三维表面上的全部数据而扩展到一个三维表面。变形后的每个节点为了得到一个新坐标将被调整为一个近似正方形的规则单体。
2.1 网格变形标准
变形有两种几何标准可供选择：一是内角；另一个是单体纵横比。
2.1.1 内角
从有限元计算中得到矩形元素的内角应是接近直角的。Zhu et al. [文献7]给了这种元素一个合理的定义，就是当四个内角都是在 90 ْ±45 ْ的范围内时。同时Lo和Lee[文献8]也提出了相同情况下的内角，角度在90 ْ±52.5ْ范围内。内角的网孔变形是由式（1）的构成所决定的。当式(1).小于π/3 或 (δθi)max在式(3) [9]中大于π/6 网孔被认为是变形的。这个标准之所以相当严格是为了避免万一在限制区域应用规则化方法受到几何图形的限制：
2.1.2 单体纵横比
四条边具有相同长度的理想单体的纵横比应该是一致的。纵横比被定义如式（4），并且当变形小于5即比严格标准少很多时，它也被定义：
此处rij表示单体边长。
2.2.作图范围
2.2.1 片的设计
通过网格变形标准所选择的变形单体，根据它们在几何成形时外形的复杂程度被分不到各个不同的区域。这些单体被分配到各片，并用来构造算法效率。这些片的形状被拼凑成矩形，包括所有变形体，目的是扩大规则化和NURBS表面在下一部分说明中的应用。这个过程如图1所示，当孔和边缘被设置在变形体中时，这些区域被填满，从而得到矩形片。
然后，这些片利用NURBS表面映射到一个三维自由表面。这个过程对于在三维表面上获得连续坐标的全部信息是非常重要的。NURBS表面在使用较少的数据点和由于局部改变而不改变这个区域的数据的情况下快速的描述这个复杂的形状。
2.2.2 NURBS表面
NURBS表面通常通过如式(5)来表述，像p-向量在u-方向中和q-向量在v-方向中[10]:
此处Pi,j是控制点如u-， q- 方向。Wi,j是加权因子，
是基础函数通过式(6)来表达：
为了把这些点映射到构造的表面上，一系列连续的点在NURBS表面创建了。每一个用规则化方法移动过的节点都被定位，以至于在NURBS表面上定位点在两节点之间有最小距离。这些移动过的连续节点的信息都被存储，用来构造一个新的网格系统。
