3.2 一阶系统的瞬态响应
可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。典型的一阶系统微分方程式为
(3.7)
系统的传递函数为
(3.8)
式中T为系统的时间常数，K为系统的放大系数，y(t)为系统的输出变量，x(t)为系统的输入变量。
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统的单位阶跃响应为
(3.9)
将式（3.9）展开为部分分式
(3.10)
对式（3.10）两边进行拉普拉斯变换，得到
(3.11)
式（3.10）即一阶系统的单位阶跃响应。图3.4给出了响应y(t)的变化曲线：
这是一条指数曲线。在t=0时，曲线的斜率最大。
(3.12)
曲线斜率随时间增加不断下降。当t
时，斜率为零，动态过程结束。这时的响应记为
=K，即单位阶跃信号经过了一阶系统后被放大了K倍。过t=0点做响应曲线的切线，与
表示的直线交于P点。P点所对应的时间t=T，而此时响应值y(T)=0.632K。工程上常用这个特征来判断实验曲线是不是一阶系统的响应曲线。
图3.4 一阶系统的单位阶跃响应
y(t)的瞬态响应曲线从t=0到
逐渐变缓。y(t)变化的几个典型值见表3.1。从表3.1可以看出，一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程初始阶段内完成的。
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表3.1 一阶系统响应的典型值
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时间t
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响应y(t)
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t=T
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y(t)=0.632K
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t=2T
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y(t)=0.865K
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t=3T
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y(t)=0.95K
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t=4T
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y(t)=0.982K
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t=5T
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y(t)=0.99K
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理论上来看，只有在
时，一阶系统的单位阶跃响应动态过程才能结束。在实际工程中，当输出响应进入到一定的误差范围后，就可以认为动态过程已经结束。我们用调节时间
来描述动态过程的长短。
就是一个系统的动态性能指标。工业上常取的误差范围为2%或5%，若取2%的误差范围，则
若取5%的误差范围，则
一阶系统的时间常数是决定系统动态特性的参数。T的大小表明了一阶系统惯性的大小。T越大，
也越大，说明系统响应变化得慢。T越小，即系统惯性小，
也越小，输出响应变化得就快。
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应
一阶系统单位斜坡响应的拉普拉斯变换为
展开成部分分式后得到
(3.14)
求（3.14）式的拉普拉斯变换，得到
(3.15)
图3.5给出了一阶系统的单位斜坡响应曲线。从图上可以看出，即使在
，达到稳定状态，输出与输入之间仍有差值。
图3.5 一阶系统的单位斜坡响应
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
由于单位脉冲函数
拉普拉斯变换等于1，所以一阶系统单位脉冲响应在形式上等于一阶系统的传递函数
(3.16)
经拉普拉斯变换后，由式（3.16）可得
(3.17)
图3.6给出了一阶系统单位脉冲响应曲线。
图3.6 一阶系统的单位脉冲响应
3.2.4 控制系统在任意输入函数下的响应
以上我们讨论了一阶系统在几种典型信号输入下的响应。有时，我们还需要得到控制系统在任意输入函数作用下的输出响应。从式3.16可以知道，任何控制系统的单位脉冲响应实际上就是该系统传递函数G(s)的拉普拉斯反变换，记为g(t)：
图3.7给出了一个任意形式的输入函数x(t)。我们可以用n个脉冲函数序列对x(t)进行近似表示。设第i个脉冲函数的幅度为
，脉冲宽度为
，如图3.7所示。当脉冲宽度比系统时间常数小得多时，可以认为每一个脉冲函数就是一个理想脉冲。输入函数x(t）就是这n个理想脉冲函数的叠加。即
(3.18)
式中
表示每个理想脉冲的强度，即每个理想脉冲包含的面积，
则表明了该理想脉冲发生的时刻（或时间序列）。
对应于第i个理想脉冲的输出是
(3.19)
因为线性系统满足叠加定理，系统的脉冲响应为
(3.20)
在3.20式中，若
,则系统对任意输入函数x(t)的响应就可以精确的得到
(3.21)
式（3.21）称为函数x(t)和g(t)的卷积分，记为
(3.22)
图3.7 任意形式的输入函数
图3.8给出了任意输入下系统的响应曲线。
图3.8 任意输入函数作用下的输出
仔细观察典型的输入函数，我们会发现，对抛物线函数求导
(3.23)
令a=v,则抛物线函数求导后为斜坡函数。同样，对斜坡函数求导
(3.24)
令v=
,斜坡函数的一阶导数就是阶跃函数。而单位阶跃函数的一阶导数就是单位脉冲函数。
线性定常系统对典型输入信号的响应也有这种关系。一阶系统的单位脉冲响应为
(3.25)
对式（3.25）积分
(3.26)
式（3.26）则是一阶系统的阶跃响应。
由此可以得出结论：线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。这是线性定常系统的一个重要特性。我们可以根据这一特性，较方便地求出较复杂输入信号的响应。
