自动控制理论_4.3 反馈控制的基本原理

4.3 反馈控制的基本原理

4.3  典型环节的频率特性

    控制系统是由典型环节按一定规律组合而成的。一个控制系统的频率特性，也是由典型环节的频率特性组合而成的。所以，我们首先需要详细地了解典型环节的频率特性。

4.3.1  比例环节
    比例环节的传递函数为

                 (4.11)

式中K为放大系数。

比例环节的频率特性为

                  (4.12)

比例环节的频率特性是一个不随频率变化的实常数。
在极坐标图上，比例环节是实轴上的一点。该点的具体位置由K的大小确定。比例环节的极坐标图如图4.2所示。

在对数坐标图上，由于

       

 

所以，对数幅频特性是一条平行于轴的直线，对数相频特性是过线的一条直线。如图4.3所示。

4.3.2  积分环节
积分环节的传递函数为

                    (4.13)

积分环节的频率特性为

               (4.14)

积分环节的幅频特性和相频特性为

 

 

图4.4是积分环节的极坐标图。由于其相角恒为，所以频率特性曲线是负虚轴，当从0到变化时，频率特性从负无穷远处沿负虚轴变化到零。图中的箭头表示频率特性随变化的方向。

积分环节的对数频率特性如图4.5所示，对数幅频特性为

 

                       (4.15)

由于横坐标为,所以式（4.15）是一条直线方程。当时，时，，时，,所以这条直线的斜率是-20dB/十倍频程。即频率增大十倍，下降20dB。对数相频特性。由于，是一条平行于轴的直线。

在对数频率特性图上，对数幅频特性是斜线时，应当在图中标注斜线的斜率。例如积分环节应标为-20dB/十倍频程，为了简化作图，本书约定，只在斜线上标出具体数值即可。它所表示的斜率即为dB/十倍频程。

4.3.3  微分环节
微分环节的传递函数为

                     (4.16)

微分环节的频率特性为

                   

图4.6给出了微分环节的极坐标图，频率特性曲线位于正虚轴上。

微分环节的对数频率特性为

 

 

如图4.7所示。

图4.7和图4.5积分环节的对数频率特性图相比较，我们会发现二者的对数频率特性曲线关于轴对称。若两个环节的传递函数互为倒数，则它们的对数频率特性曲线关于轴相互对称。

4.3.4  惯性环节
惯性环节的传递函数为

                (4.17)

惯性环节的频率特性为

                 (4.18)

惯性环节频率特性的极坐标图如图4.8所示，是一个圆心在实轴上点，直径为1的下半圆。证明如下
设是惯性环节的实频特性，是惯性环节的虚频特性，则有

 

 

 

 

 

 

 

这是一个圆的方程。

惯性环节的对数频率特性为

              (4.19)

                 (4.20)

我们先从式（4.19）研究一下对数幅频特性曲线的一些特点。当时，式（4.19）可以近似为

 

也就是说，对数幅频特性在低频段，是以零分贝线做为渐近线的。频率越低，对数幅频特性就越接近于零分贝线。而当时，式4.19可以近似为

 

这是斜率为-20dB/十倍频程的一条直线，称为高频渐近线。频率越高，对数幅频特性曲线就越接近于高频渐近线。低频渐近线和高频渐近线相交于点处。我们称为转折频率（或截止频率）。实际上，在 和 时，惯性环节的对数幅频特性基本上与低频渐近线和高频渐近线重合。在中频段，即在的范围内，对数幅频特性与高频和低频渐近线有误差，最大的误差发生在转折频率处，误差为3dB。在画对数幅频特性图时，可以先画出高低频渐近线，在此基础上对中频段进行修正，从而得到准确的对数幅频特性。图4.9是惯性环节在中频段的修正曲线。

惯性环节对数幅频特性修正的范围并不大，误差最大也只有3dB,所以在不少情况下，直接用低频渐近线和高频渐近线来表示对数幅频特性。

惯性环节的对数相频特性曲线，在 时,,在时，，在时，。
图4.10给出了惯性环节的对数频率特性曲线。

一阶微分环节的传递函数为

               (4.21)

它的传递函数和惯性环节的传递函数互为倒数。因此，一阶微分环节的对数频率特性曲线和惯性环节的对数频率特性曲线以轴对称。图4.11给出了一阶微分环节的对数频率特性曲线。

4.3.5  振荡环节
振荡环节的传递函数为

             (4.22)

式中T为时间常数， ，为系统无阻尼自振频率。
振荡环节的频率特性为

实频特性为

              (4.23)

虚频特性为

               (4.24)

幅频特性为

          (4.25)

相频特性为

              (4.26)

振荡环节的频率特性曲线与 有关。图4.12 是振荡环节频率特性的极坐标图。

式（4.23），式（4.24）可知，当 时，，此时

            

即振荡环节的极坐标图与虚轴相交的频率是环节的无阻尼自然振荡频率。当时， ，是图4.12正实轴上的点。当时，，频率特性曲线以与负实轴相切的方向中止于原点。振荡环节幅频特性当从零到无穷大变化时，并不是从1单调变化到零。振荡环节的频率曲线有一个谐振峰，谐振峰值为

              (4.27)

对应的谐振频率为

                (4.28)

图4.13 是表示振荡环节谐振峰及谐振频率的极坐标图。

振荡环节的对数频率特性曲线可以仿照惯性环节的作图方法，即先找出高低频渐近线，再进行精确修正。振荡环节的对数频率特性为

         (4.29)

当时

即振荡环节对数幅频特性的低频渐近线为零分贝线。而当时，忽略式（4.29）中的1和项，则有

这是以-40dB/十倍频程为斜率的一条直线，称为振荡环节的高频渐近线。高低频渐近线相交于，称为振荡环节的转折频率，也是振荡环节的无阻尼自然振荡频率。在以转折频率为中心的中频段，可按4.14进行修正。

振荡环节的对数相频特性曲线可按式（4.26）求出。当时，，在对数坐标图上，线是低频渐近线。当时，，当时，以线为渐近线。

图4.15 是振荡环节的对数频率特性。

由图4.15可以看出，用高低频渐近线来近似代替振荡环节的对数幅频特性时，由于谐振峰的存在，将产生较大的误差。由式（4.27）知道，谐振峰与有关。越小，谐振峰越大。当时，，当时，不产生谐振峰值，幅频特性是随增大单调减小的。只有时，才会产生谐振峰。

4.3.6 延时环节

延时环节的传递函数为

            (4.30)

延时环节的频率特性为

              (4.31)

式（4.31）就是的指数表示形式，所以有

           (4.32)

             （4.33）

延时环节的幅频特性不论 如何变化总等于1，因此它在极坐标图上的频率特性为一个单位圆。

延时环节的对数幅频特性为

 

在对数幅频特性图上是过0dB的水平直线。延时环节的对数相频特性

       

图4.16 是延时环节的极坐标图，图4.17 是延时环节的对数频率特性。