3.1 平面与立体相交
机械零件的结构是多种多样的，但这些零件往往不是单一或完整的基本立体，而是由平面与立体相交或立体与立体相交产生的，因此，这些零件表面会产生交线，其中由平面与立体表面相交而产生的交线称为截交线，由立体与立体表面相交而产生的交线称为相贯线，如图3-1所示。
为了清楚地表达出机件的形状，应正确地画出这些交线的投影。
图3-1立体表面的交线
3.1.1概述
平面与立体相交，即用平面截切立体，这个平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。
截交线的形状与立体表面性质及截平面与立体的相对位置有关，但任何截交线都具有下列两个基本性质：
（1）封闭性由于任何立体都占有一定的空间，所以截交线一般为封闭的平面图形。
（2）共有性截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。
因此，求截交线可归结为求截平面与立体表面的一系列共有点，然后把它们按一定顺序连线即可。
3.1.2平面与平面立体相交
平面与平面立体相交，即平面立体被平面截切，其截交线是平面多边形，多边形的各边是截平面与立体表面的交线，而多边形的顶点是立体各棱线或底边与截平面的交点，因此平面体上截交线的求法可归结为求两平面的交线或直线与平面的交点问题。
在图3-2中，三棱锥被正垂面P截切，其截交线是三角形。三角形的三条边分别是三棱锥的三个棱与截平面的交线，三个顶点则分别是三棱锥的三个侧棱面与截平面的交点。由于截平面是正垂面，它的正面投影有积聚性，则截交线的正平面投影与PV重合，故只要求出截交线的水平投影和侧面投影。
其作图步骤为：
(1) 在正面投影上，直接标出各棱线与截平面PV的交点1′、2′、3′；
(2)根据1′、2′、3′,由投影关系可求出水平投影1、2、3和侧面投影1″、 2″、3″,其中棱线SB是一侧平线,Ⅱ点的其他投影可先求2″再求2。
(3)依次连接各点的同面投影，并判别可见性。判别可见性的原则是:若截交线所在的立体表面可见，则截交线可见；否则为不可见。在本例中截交线的水平投影、侧面投影全都
可见。
例3.1补画被截四棱锥的水平投影和侧面投影（图3-3(a)）。
解 如图3-3(a)所示，四棱锥被相交的水平面Q和正垂面P所截切。水平面Q与各棱面的交线的正面投影和侧面投影有积聚性，水平面投影反映实形。P平面与各棱面的交线在正面投影有积聚性。截平面与各侧棱的交点的投影在各棱的同面投影上。
图3-2正垂面与三棱锥相交
图3-3四棱锥被两平面所截切
作图步骤：
（1）在正面投影上依次标出各侧棱与截平面的交点1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′。
（2）先求平面Q截四棱锥的截交线的投影。由1′在俯视图上求1，由1作四边形与底面四边形对应边平行可得2、5，平面Q与P的交线ⅢⅣ的投影可由3′、4′在俯视图上求得3、4；侧面投影1″、2″、3″、4″、5″可按投影关系直接求得。同理，可求出平面P截四棱锥的截交线的水平投影和侧面投影6、7、8和6″、7″、8″。
（3）判别可见性，依次连接各点的同面投影。
（4）整理，擦去多余的线，完成作图，如图3-3(b)所示。
3.1.3平面与曲面立体相交
平面与曲面立体相交, 即曲面立体被平面所截切，其截交线为封闭的平面曲线，或由曲线与直线围成的平面图形或平面多边形，其几何形状取决于曲面立体的形状和截平面与曲面立体的相对位置。
求曲面立体上的截交线，就是要求截平面与立体上各被截素线的交点，可归结为求线面交点的问题。当截平面或被截圆柱面轴线处于垂直于投影面的特殊位置时，可利用投影的积聚性求出截交线的投影，而在一般的情况下则需要通过作辅助平面才能求出截交线的投影。
