自动控制理论_3.3 二阶系统的瞬态响应

3.3 二阶系统的瞬态响应

凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。标准形式的二阶系统的微分方程是

        (3.27)

或

          (3.28)

上两式中，T称为系统的时间常数。称为系统的阻尼系数或阻尼比，称为系统的无阻尼自然振荡频率或自然频率。K为放大系数。
图3.9是标准二阶系统的结构图。

标准形式二阶系统的闭环传递函数为

          (3.29)

二阶系统的状态空间表达式为

      (3.30)

         (3.31)

在式（3.30）和式（3.31）中，设K=1,u(t)为输入函数。
二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。同时，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。

3.3.1 二阶系统的单位跃阶响应
二阶系统的特征方程为

       (3.32)

特征方程的二个根为

           (3.33)

这也是二阶系统的闭环极点。
从式（3.33）可以看出，二阶系统的参数，是变化的，取值不同，特征方程的根（即闭环极点）可能是复数，也可能是实数。系统的响应形式也因此会有较大的区别。
在单位阶跃函数输入下，二阶系统的输出为

         (3.34)

下面分几种不同的情况来讨论二阶系统的单位阶跃响应。
1.  无阻尼状态（=0）
当二阶系统的阻尼比时，我们称二阶系统处于无阻尼状态或无阻尼情况。
时，二阶系统特征方程的根是共轭纯虚数根

闭环极点在s平面上的分布如图3.10所示。随变动，闭环极点的位置沿虚轴变化。系统的单位阶跃响应为

            (3.35)

响应的时域表达式为

          (3.36)

这是一个等幅的正弦振荡。这说明在无阻尼状态下系统不可能跟踪单位阶跃输入的变化。的变化曲线如图3.15所示。

2.  欠阻尼状态（）
当二阶系统的阻尼系数时，我们称二阶系统的单位阶跃响应是欠阻尼情况或者说二阶系统处于欠阻尼状态。
当时，二阶系统特征方程的根是一对共轭复数根：

           (3.37)

闭环极点在s平面上的分布如图3.11所示。特征方程的根具有相同的实部。特征方程的根的虚部为，我们定义

           (3.38)

称为阻尼频率。在图3.11中，设闭环极点与s平面原点的连线和实轴的夹角为，则有

                (3.39)

或

       (3.40)

系统的单位阶跃响应为

      (3.41)

把式（3.41）展开为部分分式

                            

                                   (3.42)

对式（3.42）求拉普拉斯变换，得到

       (3.43)

式（3.43）还可以进一步写成：

        (3.44)

式（3.44）表明，这是一个振幅按指数规律衰减的正弦振荡过程。图3.12是y(t)在欠阻尼情况下的响应曲线。

式（3.44）中，正弦振荡的振幅为,可以看出，若越大，振幅衰减得就越快。从图3.11闭环极点分布上，可以看出闭环极点离虚轴越远，振幅衰减得越快。是正弦振荡的频率。图3.11表明，闭环极点离实轴越远，振荡频率就越高。欠阻尼响应随变化的曲线见图3.15。

3.临界阻尼状态（）
当阻尼比时，我们称二阶系统处于临界阻尼状态或临界阻尼情况。
在时，二阶系统的特征根为

                    

即二阶系统具有相等的负实数闭环极点。图3.13给出了闭环极点在S平面上的分布。图中用双星号表示特征方程的重根。
临界阻尼状态下的单位阶跃响应为

                                       (3.45)

对上式进行拉普拉斯反变换得：

          (3.46)

其响应曲线见图3.15，在临界阻尼状态下，系统的响应开始失去振荡特性，成为单调变化的曲线。

4.过阻尼状态（)
当阻尼比大于1时,我们称二阶系统处于过阻尼状态或过阻尼情况。
在这种状态下，二阶系统特征方程的根是两个不相等的实数根。图3.14给出了这种情况下闭环极点的分布。
系统的闭环极点为

过阻尼状态下系统的单位阶跃响应为

                     

                                               (3.47)

对式（3.47）进行拉普拉斯反变换得

其响应曲线见图3.15，这是两个衰减指数项的叠加。这种情况下，二阶系统的特征方程可以改写为

其中

于是闭环传递函数可写为

                        (3.49)

式（3.49）表明，过阻尼状态下的二阶系统可以看成是两个时间常数不同的惯性环节的串联。过阻尼状态下的两个闭环极点距虚轴的距离不同。离虚轴近的闭环极点对应的（3.48）式的指数项衰减得慢，因而对输出影响大。而离虚轴远的闭环极点所对应的指数项则衰减得很快，对输出的影响较小。当时，可以将远离虚轴的闭环极点忽略，把系统近似为一阶系统：

           (3.50)

其相应的单位阶跃响应为

         (3.51)

图3.15给出了二阶系统的单位阶跃响应曲线。从图中可以看出，二阶系统单位阶跃响应的形式随阻尼比变化的情况，阻尼比越大，响应振荡越弱。反之，阻尼比越小，响应的振荡越强烈。图3.15中的横坐标采用，主要是为了使纵坐标的输出y(t)仅仅成为阻尼比的函数。

图3.15 二阶系统的单位阶跃响应

3.3.2  二阶系统动态特性性能指标

1.控制系统的动态特性性能指标
    控制系统动态特性的优劣，是通过动态特性性能指标来评价的。控制系统动态特性的性能指标通常是按系统的单位阶跃响应的某些特征量来定义的。多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因此我们选择欠阻尼振荡过程为典型代表，来定义动态特性的性能指标，并用这些指标来描述控制系统的动态过程品质。这些指标主要有：上升时间、峰值时间、最大超调量、衰减率、调节时间、振荡频率与周期、振荡次数等。
    图3.16是一个典型的欠阻尼振荡过程。它代表了系统的单位阶跃响应。之所以选用单位阶跃响应来定义动态性能指标，是因为阶跃信号变化的突然性具有代表意义。若系统的单位阶跃响应品质良好，对其它信号的响应一般也较好。上升时间。指从动态过程开始到输出第一次达到阶跃响应的稳态值所需的时间。这个指标反映了系统响应的快速性或灵敏程度。
峰值时间。是指瞬态响应达到第一个峰值的时间。

最大超调量。最大超调量定义为

         (3.52)

式中是指系统阶跃响应的第一个峰值。是指系统单位阶跃响应的稳态值。最大超调量表示了系统振荡特性的强弱。阻尼系数较小的系统，振荡较强，因而最大超调量也大。最大超调量也表示了控制系统在动态过程中被控对象的输出瞬时上冲得最大程度。这是输出量变化的极值。这一点在控制系统的运行中非常重要。因为系统中某些有一定限制的参数在动态过程中可能会因为超调而越出允许范围。如材料的极限温度、电子元件的击穿电压、瞬时电流，化工生产中化合物的爆炸极限等，这将会造成设备的损坏，影响生产的安全。最大超调量一般也可以简称为超调量。
衰减率和衰减比。衰减率的定义为

           (3.53)

式（3.53）中，是瞬态响应曲线上同方向相邻两个波峰值高出稳态值得部分。衰减比的定义是

   (3.54)

衰减率和衰减比与超调量一样，反映了系统振荡的强弱，或者说反映了系统的阻尼特性。在化工过程、热工过程的控制中，常用来描述系统克服扰动时的动态特性。在工业生产过程控制中，常常把系统设计成具有75%的衰减率，此时的衰减比为4：1。
调节时间。调节时间也称为调整时间，过渡过程时间。其定义为：从动态过程开始到系统响应进入规定的误差带内并不再超出的时间，即：

         (3.55)

式中指规定的允许误差范围。工业上常取误差的相对值为5%或2%。
此外，延迟时间、振荡次数、振荡周期等也是动态性能指标。这里不再详述。
以上性能指标是按系统单位阶跃响应的特性来定义的。所有的性能指标综合在一起，才能表明控制系统动态特性的品质，因此，称为单向性指标。
控制系统也可以用一个指标来表示系统的动态品质，称为综合性指标。误差准则就是这样一种性能指标。控制系统的特性通过误差的积分来评定。在误差准则中，通常应用的有4种：
平方误差积分准则（ISE)

          (3.56)

时间乘平方误差积分准则（ITSE)

        (3.57)

绝对误差积分准则（IAE)

        (3.58)

时间乘绝对值误差准则（ITAE)

          (3.59)

这些积分准则可以称为目标函数。通过对控制系统可调参数选取，使某种目标函数的值最小，则所选择的这些参数就称为最优参数。按最优参数组成的控制系统就称为最优系统。
2.二阶系统的动态特性性能指标
上升时间：根据上升时间的定义，从（3.44）式可得

        

因而

则有

        

所以

         (3.60)

峰值时间对式（3.44）式求导

          

可得

       (3.61)

最大超调量，将式（3.61）代入（3.44）式，为简便运算，令K=1则有

      

            

由图3.11可以得出

因此

按最大超调量的定义

            (3.62)

用类似的方法，可得到其他性能指标。
衰减率

       (3.63)

衰减比n

            (3.64)

调节时间一般取近似表达式；
按2%误差

            (3.65)

按5%误差

          (3.66)

从以上二阶系统的性能指标可以看出，提高，可以提高系统响应的快速性，减小和。增大，可以减弱系统的振荡性能，降低最大超调量。

例1  控制系统的结构图如图3.17所示，求K=1.62,T=0.5s时，系统的单位阶跃响应表达式及动态性能指标及。
解  系统的闭环传递函数为

      

上式中

   

系统的单位阶跃响应为

   

s

 s

s(2%误差）

s(5%误差）

例2  控制系统如图3.18所示。要使该系统单位阶跃响应的最大超调量为25%，峰值时间等于2s,系统中的K和T应为多少？
解  根据得

解得

根据

从而得

系统的闭环传递函数为

     

可得到

从

得到

例3  已知某单位反馈控制系统的单位阶跃响应是二阶振荡过程，最大超调量为30%，峰值时间为1s，试确定其开环传递函数。

解  对二阶系统由,可得到

设单位反馈系统如图3.19所示。为前项通道传递函数。
系统的闭环传递函数为

由上式得

           

          

将已求出的值代入上式得：