自动控制理论_3.5 控制系统的稳态误差

3.5 控制系统的稳态误差

3.5  控制系统的稳态误差

    描述控制系统的微分方程

     (3.73)

式（3.73）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为

     (3.74)

    式中，前两项是方程的通解，而 是方程的一个特解。随时间的增大，方程的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。当时，方程的通解趋于零

     

    这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。

3.5.1  稳态误差
    控制系统的误差可以表示为

              (3.75)

    式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的输出。
稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差

（a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统

    在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图3.23（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即

            (3.76)

式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。单位反馈系统的稳态误差为:

         (3.77)

    对图3.23（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3.75）式意义上的误差。但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出量，于是，定义非单位反馈系统的误差为

              (3.78)

式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。根据图3.23（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得

         (3.79)

    如果把单位反馈系统看成是一般反馈系统的特殊情况，则（3.79）式就被定义为控制系统误差的拉普拉斯变换表达式。根据拉普拉斯变换的终值定理得

即

         (3.80)

    式（3.80）表明，控制系统的稳态误差不仅仅是由系统本身的特性决定的，还与输入函数有关。同一个系统在输入信号不同时，可能有不同的稳态误差。也就是说控制系统对不同的输入信号，控制精度是不同的。

3.5.2  积分环节对稳态误差的影响
式（3.80）中的开环传递函数可以表示为

               (3.81)

    式中K表示系统的开环放大系数。N表示开环传递函数所包含的积分环节数。在分析控制系统的稳态误差时，我们根据系统开环传递函数所含的积分环节数来对系统进行分类。若N=0，即控制系统开环传递函数不含积分环节，称为0型系统。若N=I,则称为I型系统。N= Ⅱ,称为Ⅱ型系统。现在，我们来讨论不同类型的控制系统在典型输入信号作用下的稳态误差。
1. 单位阶跃函数输入下的稳态误差
    单位阶跃函数输入下系统的稳态误差为

                                (3.82)

如果我们定义

          (3.83)

式中称为位置误差系数，则单位阶跃输入下系统的稳态误差为

        (3.84)

对于0型系统

           (3.85)

           (3.86)

稳态误差为

           (3.87)

    式（3.87）说明，0型系统在单位阶跃输入下是有稳态误差的。所以我们称0型系统对单位阶跃输入是有差系统。可以通过增大开环放大系数K使稳态误差减小，但不能消除，因为系统本身的特性决定了稳态误差不可能完全消除。
对于Ⅰ型或Ⅱ型系统：
系统的开环传递函数为

Ⅰ型

            (3.88)

Ⅱ型

           (3.89)

系统的位置误差系数

         (3.90)

系统的稳态误差为

            (3.91)

（3.91）式说明，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，系统必须含有积分环节。可以看出，积分环节具有消除稳态误差的作用。
2.  单位斜坡函数输入的稳态误差
单位斜坡函数输入下控制系统的稳态误差为

   

定义

         (3.93)

则系统的稳态误差为

         (3.94)

式中，称为速度误差系数。
对于0型系统

           

稳态误差为

         (3.95)

对于Ⅰ型系统

                 (3.96)

稳态误差为

     (3.97)

式中K为系统的开环放大系数。
对于Ⅱ型系统

            (3.98)

稳态误差为

               (3.99)

    在单位斜坡函数输入下，0型系统的稳态误差为无穷大。这说明0型系统不能跟踪斜坡函数。I型系统虽然可以跟踪单位斜坡输入函数，但存在稳态误差，即I型系统对斜坡输入是有差的。若要在单位斜坡函数作用下达到无稳态误差的控制精度，系统开环传递函数必须含有二个以上的积分环节。
3.  单位抛物线函数输入下的稳态误差
单位抛物线输入函数作用下系统的稳态误差为

                       (3.100)

定义

            (3.101)

则有

            (3.102)

式中称为加速度误差函数。
对0型系统

             (3.103)

对

表3.2  典型输入信号作用下系统的稳态误差
系统类型	误差系数			输入r(t)=1	输入r(t)=t	输入r(t)=
0型	K	0	0
Ⅰ型		K	0	０
Ⅱ型			K	０	０

Ⅰ型系统

              (3.104)

对Ⅱ型系统

          (3.105)

K为系统的开环放大系数。
在抛物线函数输入下，0型、Ⅰ型系统都不能使用。Ⅱ型系统则是有差的。若要消除稳态误差，必须选择Ⅲ 型以上的系统。但系统中积分环节太多，动态特性就会变坏，甚至使系统变得不稳定。工程上很少应用Ⅱ型以上的系统。表3.2给出了典型输入函数作用下各型系统的稳态误差。
从以上讨论中可以得出结论：积分环节具有消除稳态误差的作用。这就是许多控制系统中引入积分环节的原因。
    误差系数是利用拉普拉斯变换终值定理得出的，它只是时间趋于无穷大时的值，因此是静态误差系数，它们并不反映误差随时间变化的情况。

3.5.3  扰动作用下的稳态误差
    以上我们讨论了控制系统对给定值信号的稳态误差。在控制系统受到扰动时，即使给定值不变，也会产生稳态误差。系统的元件受环境影响、老化、磨损等会使系统特性发生变化，也可以产生稳态误差。系统在扰动作用下的稳态误差大小反映了系统抗干扰的能力。
    图3.24是一个控制系统的结构图。我们现在来讨论这个系统在扰动d(t)作用下的稳态误差。按叠加原理，我们假定R(s)=0,系统中只有扰动输入。系统在扰动作用下的输出为

误差为

利用拉普拉斯变换的终值定理得

         (3.106)

    值得说明的是，扰动稳态误差与干扰的作用点有关。所以式（3.106）只适用图3.24所示的系统。
若要求系统在给定值输入和扰动输入同时作用下的稳态误差，只要将二者叠加就可以了。
系统在扰动作用下的稳态误差也是系统的一项重要稳态特性指标。
例6  单位反馈系统前向通道的传递函数为

求系统在输入信号作用下的稳态误差。
解  可以根据叠加原理分别求的稳态误差。
本系统为Ⅰ型系统，=3为阶跃函数，。因此有

为斜坡函数，稳态速度误差系数,由此得到

为抛物线函数，稳态加速度误差系数,因此

系统的稳态误差为