3.6 状态方程的解
3.6 状态方程的解
以上讨论的控制系统的分析方法，都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入——输出微分方程。在时域分析中，若控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。
3.6.1 线性定常系统状态方程的解
线性定常系统的状态方程为
(3.107)
状态方程的求解，就是在给定的初始值x(0)条件下，确定系统在输入u(t）的作用下在t时刻的状态响应x(t)。
线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。
设一阶线性微分方程为
(3.108)
式中a,b为常数，方程的初始条件为
对式（3.108）两边去拉普拉斯变换
整理后得
对上式两边进行拉普拉斯反变换得
(3.109)
其中，指数函数
可以展开成无穷级数
(3.110)
状态方程是由n个一阶微分方程组成的，其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。
我们先讨论齐次状态方程的求解问题。设齐次状态方程为
(3.111)
初始条件为
对式（3.111）两边取拉普拉斯变换得
进而得
(3.112)
对（3.112）式两边求拉普拉斯的变换得
(3.113)
式中，
称为矩阵指数，A为n*n维方阵，
也是一个无穷级数
(3.114)
矩阵指数具有如下性质
(3.115)
(3.116)
(3.117)
齐次状态方程的解还可以写成
(3.118)
式中
称为状态转移矩阵，是n*n维矩阵。式（3.118）说明，状态方程（3.111）的解就是状态从初始状态向t时刻状态的转移，所以把
称为状态转移矩阵。显然，对线性定常系统
(3.119)
状态转移矩阵具有如下性质
对于非齐次状态方程
(3.120)
可以写成
两边左乘
即
对上式积分
两边再左乘
得
(3.121)
（3.121）式也可以用状态转移矩阵表示
(3.122)
式中
非齐次状态方程的解可以分为两部分，第一项表示了系统自由运动的特性，是初始状态转移项，叫零输入响应。后一项表示了系统受迫运动的特性，起因于输入向量，叫做零状态响应。
3.6.2 状态转移矩阵的计算
状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，状态方程的求解，很大程度上是计算状态转移矩阵。状态转移矩阵的计算方法较多。我们这里仅通过例子介绍两种方法，即拉普拉斯变换法和直接计算法。
拉普拉斯变换法是按下面的表达式计算
(3.123)
例7 线性定常系统的状态方程为
计算其状态转移矩阵。
解
用拉普拉斯变换法计算状态转移矩阵，进行矩阵的求逆运算和求拉普拉斯反变换，在系统阶数较高时，计算非常烦杂。
直接计算法是最原始也最直观的算法。直接算法就是按下式进行直接计算
例8 已知线性定常系统状态方程的系统矩阵A为
计算其状态转移矩阵。
解
直接计算法得到的状态转移矩阵，矩阵中每个元素都是一个无穷级数，其缺点是系统阶数较高时，计算量很大，另外，无穷级数不容易写成闭式解析表达式。
状态转移矩阵的其他计算方法，例如把
化为对角线矩阵等，在这里不再叙述。有必要时请参看其他书籍。
例9 已知线性定常系统的状态方程为
设初始值为
输入向量为
求此状态方程的解。
解
所以
即
