自动控制理论_4.1 频域特性

4.1 频域特性

    在通讯系统中，经常会遇到各种不同频率的正弦信号。通信系统就是对这些不同频率正弦信号进行处理和传递。这种方法对控制工程产生了巨大的影响。

    控制系统的运动过程也可以看作是不同频率正弦信号在控制系统各环节中以一定的函数关系传递的过程。控制系统的输入信号可以分为周期信号和非周期信号两类。周期性的输入信号，可以分解为一系列正弦谐波信号之和。它所包含的频率成分是基波和各次谐波，其频谱是离散的。而非周期性的输入信号，如阶跃函数，则可以看作是幅值无穷小而且含有一切连续频率成分的无穷多个谐波之和，即非周期函数的频谱是连续的。不论周期的或非周期的输入函数，其最基本的成分是正弦函数。研究控制系统对正弦输入信号的响应，就可以了解控制系统运动的特点。这种思路，形成了控制系统的一种基本分析方法——频率法。应用频率法对控制系统进行分析，称为频域分析。

4.1频率特性
    控制系统对正弦输入信号的稳态响应称为系统的频率响应。

我们现在来讨论线性定常系统的频率响应。图4.1表示了一个线性定常系统。系统的传递函数为G(s),输入函数是正弦函数

式中X为正弦函数的最大振幅，为角频率。x(t)的拉普拉斯变换为

设系统的传递函数可以分解为

式中B(s)为s的有理多项式。控制系统在正弦输入信号x(t)作用下的输出

上式展开为部分分式后得

求上式的拉普拉斯反变换，可以得到}

     (4.1)

当t趋于无穷大时，（4.1）式含有项的分量都为零，所以系统的稳态响应为

              (4.2)

式中的系数可按留数定理确定

复变函数可表示为下列指数形式

式中 是的模，是的相角。可以表示为

对于则有

因此，式(4.2)可表示为

       

                     (4.3)

式（4.3）式表明，线性定常系统在正弦信号输入下的稳态输出，仍是同频率的正弦量，但是振幅和相位与输入信号不同。
  线性定常系统对正弦输入的稳态响应是由系统的特性决定的。稳态输出与输入的振幅比为

                (4.4)

稳态输出与输入的相位差为

               (4.5)

若已知的模和相位角，完全可以根据输入信号确定系统的稳态输出。所以，函数建立了定常系统正弦稳态输出与正弦输入的关系。表明了系统本身的特性。因为是频率的函数，我们称其为频率特性。式（4.4）表示了输出与输入的振幅比，我们称之为幅频特性，式（4.5）表示系统输出与输入的相位差，我们称之为相频特性。由于是复变函数，还可以表示为

                 (4.6)

式中是的实部，称为实频特性，是的虚部，称为虚频特性。很显然

           (4.7)

              (4.8)

系统的频率特性  既可以用幅频特性和相频特性表示，也可以用实频特性和虚频特性表示。

频率特性是线性定常系统的一种特性。通过传递函数可以得到系统的频率特性函数：

            (4.9)

式（4.9）表明，频率特性函数是一种特殊的传递函数，即S 只在虚轴上取值。频率特性包含了线性定常系统稳定性、动态特性的信息，反映了系统本身固有的特性。

利用系统的频率特性，在频域中对控制系统进行分析和设计的方法称为频率法。频率法避免了求解微分方程的复杂过程，而且对难以写出其微分方程的复杂对象，可以用实验法求得频率特性。频率法是一种图解方法，在工程上应用比较方便，因而在控制工程中获得了广泛的应用，形成了一套完整的分析和设计控制系统的理论和方法。
例1 求惯性环节的频率特性
解  惯性环节的传递函数为

          

频率特性

      

实频特性和虚频特性为

幅频特性和相频特性为