自动控制理论_4.5 稳定性分析

4.5 稳定性分析

4.5  稳定性分析 
  频率法中对系统稳定性的分析是应用奈奎斯特（Nyquist）判据进行的。奈奎斯特判据 是根据控制系统的开环频率特性判断闭环系统是否稳定的判据。应用奈奎斯特判据，不仅能解决系统是否稳定的问题，而且还能了解系统稳定的程度，并找出改善系统动态特性的途径。因此，奈奎斯特判据是频域分析的基础。

4.5.1映射定理 
    设F(s)是一个单值解析的复变函数。对于s平面上一条不通过任何奇点的封闭曲线C，在F(s)平面上必有一条封闭的曲线与之对应，该封闭曲线 是曲线C的映射。如果s平面上的封闭曲线C 内部包含了F(s)的P 个极点和Z 个零点，且动点s 是沿顺时针方向在封闭曲线上变化的，则在F(s)平面上相应的封闭曲线  包围坐标原点的周数和方向可以表示为

             (4.40)

    式中N 是 包围原点的周数，若N>0，则表示 顺时针包围F(s) 平面的原点，若N<0 ，则 逆时针包围F(s)平面的原点，若N=0，则 不包围F(s)平面的原点。这里不对映射原理进行证明。对此有兴趣的读者可以参阅其他有关书籍。

4.5.2 奈奎斯特判据
    映射原理为判断控制系统的稳定性提供了依据。设

             (4.41)

根据控制系统的稳定的充分必要条件，若系统稳定，则s 平面右半边没有闭环极点，既没有特征方程的根。 特征方程的根就是函数F(s)的 零点。F(s)的极点则与开环传递函数的极点相同。若F(s)曲线是已知封闭曲线，则可以确定F(s)包围原点的周数及包围原点的的方向.又因为F(s)与开环传递函数的极点相同，所以可以根据开环传递函数确定s平面上封闭曲线C所包含的F(s)极点数P。按照映射原理，s平面上的封闭曲线C所包含的F(s)的零点数即可确定。问题的关键是在s平面上找到一条能包围整个s平面的右半边的封闭曲线。这条曲线就是奈奎斯特轨迹。

1. 奈奎斯特轨迹
    奈奎斯特轨迹是由整个虚轴和位于s平面右半边的半径为无穷大的半圆构成的封闭曲线，动点s在曲线上顺时针方向移动。图4.20时奈奎斯特轨迹的示意图。奈奎斯特轨迹不能通过的任何零点和极点。

    奈奎斯特轨迹是s 平面上的一条封闭曲线，而与之对应的函数在复平面上是一条什么样的封闭曲线呢？我们把奈奎斯特轨迹划分为两部分：一部分是半径为无穷大的半圆；另一部分是整个虚轴。现在来分析这两部分在平面上的映射。

    当s趋近于无穷大时，由于开环传递函数分母的阶次n一般都大于分子的阶次m，所以有

常量

若n>m，则上面的常量为1，若n=m，则为其他常量。总之,s平面上奈奎斯特轨迹的无穷大半圆在平面上的映射是实轴上的一个点。

    当动点s在奈奎斯特轨迹上的另一部分，即整个虚轴上由负无穷大向无穷大变化时，由于，所以有

其中的正是开环频率特性。所以，可以说奈奎斯特轨迹在的映射就是开环频率特性。

若已知包围平面原点的周数及方向N，又知道奈奎斯特轨迹所包围的开环传递函数的极点数P，则位于s平面右半边特征方程的根的个数Z即可根据映射定理计算出来，系统的稳定性也随之确定了。

    函数构成的复平面与开环频率特性构成的复平面，实轴坐标仅差1.平面上封闭曲线对原点的包围就是平面上对 点的包围。为了简便，在我们绘制出开环频率特性以后，不必再转为函数，直接使用开环频率特性判断系统是否稳定就可以了。
    当开环传递函数含有积分环节时，例如

    有一个s=0的极点，这个极点正好位于奈奎斯特轨迹上，违反了封闭曲线C 不能有奇点的规定。为了解决这个问题，我们用一个半径为无穷小的半圆从右面绕过原点，如图4.21 所示。这样，除了原点之外奈奎斯特轨迹仍然包围s平面右半边，无穷小半原在开环频率特性的复平面上，即平面上的映射唯一无穷大圆弧段。

2.  奈奎斯特判据
    奈奎斯特判据是对奈奎斯特轨迹应用映射原理的结果。

奈奎斯特判据：
    设开环传递函数位于s平面右半边的极点个数为P。若P=0，闭环系统稳定的充分必要条件是当从负无穷大连续变化到正无穷大时，平面上的开环频率特性曲线不包围点，否则系统不稳定。若，闭环系统稳定的充分必要条件是当从负无穷大变化到正无穷大时， 平面上的开环频率特性曲线逆时针方向包围点P周。

例4 控制系统的开环传递函数为

判断该系统的稳定性。
解  该系统的开环频率特性如图4.22所示。

开环传递函数在s平面右半边无极点，即P=0， 曲线不包围点，所以系统稳定。

例5 控制系统的开环传递函数为

判断当K=2和K=20时系统的稳定性。
解 当K=2时，绘出系统的开环频率特性如图4.23所示。
   当K=20时，绘出系统的开环频率特性如图4.24所示。

由于开环传递函数中含有积分环节，所以奈奎斯特轨迹在原点处增加了无穷小半圆。

s从从原点右侧绕到，当时，该无穷小半圆在开环频率特性上是无穷大半圆弧，如图中虚线所示。

图4.23的开环频率特性不包围点，而本例中P=0，所以系统稳定。求解特征方程，可得到特征方程的根为

特征根均具有负实部，和应用奈奎斯特判据的结论完全一致。

图4.24的开环频率特性包围了点（顺时针方向，2周）而P=0，根据奈奎斯特判据，系统是不稳定的。求解特征方程可得

特征方程的共轭负数根具有正实部，从而验证了奈奎斯特判据。
例6 系统的开环传递函数为

判断系统的稳定性。
  解 系统的稳定性与和的取值有关。不同情况下的开环频率特性如图4.25所示。

本例中P=0,时，开环频率特性不包围点，系统稳定。 时，开环频率特性正好通过点，说明系统处于临界稳定状态，闭环极点位于虚轴上。时，开环频率特性顺时针方向包围点两周，系统不稳定。

例7 已知控制系统的开环传递函数为

判断闭环系统的稳定性。

解 该系统的开环频率特性如图4.26所示。
本例中有一个开环极点s=1位于s平面右半边，P=1，而开环频率特性顺时针包围点一周，根据奈奎斯特判据，此系统稳定。

判断开环频率特性包围点的方法是假设一个起点在点。矢端在开环频率特性曲线上的矢量。当从变化到时，该矢量的副角变化量与之比即为包围点的周数。

若开环频率特性顺时针包围点，系统总是不稳定的。

3。 用对数频率特性分析系统的稳定性。
    系统开环频率特性的极坐标图与开环对数频率图有如下关系

    在极坐标图上，以原点为圆心的单位圆，因其模为1，对应于对数幅频特性的零分贝点，其相角均为.所以负实轴对应于对数相频特性的线。

    对于开环传递函数在s平面右半边无极点的系统（称为开环稳定），若系统开环对数副频特性在穿越0dB线时，所对应的对数相频特性曲线的相位角大于（绝对值大于180），则闭环系统稳定，否则不稳定。

4.5.3 相对稳定性
    只判断控制系统是否稳定，以稳定和不稳定来区分系统，这种稳定的分析称为绝对稳定分析问题。在更多的情况下，我们还想知道系统的稳定程度如何。只就是相对稳定问题。应用奈奎斯特判据不仅可以判断系统是否稳定，而且可以解决相对稳定性问题。

图4.27是一个控制系统的开环频率特性的局部(P=0).当系统的K较小时，开环频率特性曲线不包围点。继续增大K，开环频率特性曲线仍未包围，系统还是稳定的。但开环频率特性曲线更靠近点。我们说它的稳定程度不如前者。再增大K，开环频率特性曲线通过点，系统处于临界稳定状态。随着K的继续增大，开环频率特性曲线包围了点，系统变成了不稳定系统。图4.27 表明，对于稳定的系统，开环频率特性曲线越靠近点，系统的稳定程度越低。对于不稳定的系统，开环频率特性曲线离点越远，不稳定程度越大。

开环频率特性曲线通过 点时，必然满足:

             （4.42）

                （4.43）

    开环频率特性曲线靠近点的程度就是系统相对稳定的程度。工程上，我们采用稳定裕量来具体描述系统相对稳定的大小。稳定裕量是由相位裕量和增益裕量共同决定的。
1.相位裕量
    当开环频率特性的幅频特性满足：

  

时，开环相频特性的相位角与 之差，定义为系统的相对裕量，如图4.28（a）所示。

    式中为系统的相对裕量。>0，相对裕量为正值，系统稳定。

    在开环频率特性的对数坐标图上，满足式（4.42）的是对数幅频特性曲线穿越0dB线的点，这时对应的频率称为幅值穿越频率，在开环相频特性曲线上对应的相位角值即为相对裕量。如图4.28（b）所示。

2. 增益裕量
    当开环频率特性的相频特性满足

时，对于该频率下的开环幅频特性的倒数，定义为增益裕量

            (4.45)

式中称为增益裕量。增益裕量表示，在相位已达到 的条件下，开环频率特性的幅值在此时还可以放大多少倍系统才变得不稳定。若>1 ，称正的增益裕量。<1,称负的增益裕量。若系统稳定,增益裕量必须为正。极坐标图的增益裕量如图4.28（a）所示。
开环对数频率特性的增益裕量如图4.28（b)所示。

（a）极坐标图（b）对数坐标图

    开环对数相频特性图上，满足式（4.43）时相频特性曲线穿越线，此时对应的频率称为相位穿越频率，与此频率相对应得开环幅频特性距 0dB线的距离即为幅值的增益裕量。

    稳定裕量反映了控制系统在增益和相位方面的稳定储备量。一个控制系统设计出来是稳定的，但在其后的运行中可能，可能面临许多不确定因素。例如元件制造时的偏差，测量的误差，环境等因素对元件参数的影响，运行条件的变化等。这些不确定因素可能会使系统的参数甚至结构产生一些变化。如果系统具有相当的稳定裕量，系统在一些不确定因素的影响下，仍能保持稳定。这样的系统就比较可靠。增益裕量和相位裕量一同使用，才能表示稳定裕量。稳定裕量还可以反映系统的动态特性。稳定裕量小的系统，震荡比较剧烈，超调量往往较大。稳定裕量过大，系统动态相应则较慢。工程上一般是系统保持保持 的相对裕量和大于6dB的增益裕量。

    以上讨论的相对裕量和增益裕量的计算机结论，只适用于最小相位系统。最小相位系统是指开环传递函数在s平面右半边无零极点的系统。控制系统中遇到的多数系统都是最小相位系统。但相对稳定性问题绝不仅仅限于最小相位系统。控制系统在不确定因素影响下的稳定性问题，称为系统的鲁棒性(robustness)问题。对于多输入多输出系统，鲁棒性问题十分复杂而且重要。